Περί αυτομορφισμών αλγεβρικών καμπυλών

Abstract

Εστω F να είναι ένα αλγεβρικό σώμα συναρτήσεων με σώμα σταθερών ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα Κ θετικής χαρακτηριστικής {dollar}p{dollar}. Έστω G μια ομάδα αυτομορφισμών του F. Μελετάμε τον χώρο Ω(m), των ολόμορφων (πολυ)διαφορικών του F, όταν η G είναι κυκλική ή στοιχειώδης αβελιανή ομάδα τάξης {dollar}p%5En{dollar}. Δίνουμε βάσεις διαφορικών για κάθε μια από αυτές τις περιπτώσεις όταν το σώμα είναι ρητό, εισάγουμε την έννοια της αναλλοίωτης του Boseck και υπολογίζουμε την δομή του χώρου Ω(m) σαν Κ[G]-πρότυπο συναρτήσει των αναλλοίωτων του Boseck, χρησιμοποιώντας εργαλεία από την θεωρία διακλάδωσης του Hilbert. Ο παραπάνω υπολογισμός γίνεται χωρίς καμιά προϋπόθεση για την κυκλική περίπτωση, ενώ για την στοιχειώδη αβελιανή περίπτωση υποθέτουμε ότι το σώμα είναι ρητό. Δίνουμε μια εφαρμογή των παραπάνω στον εφαπτόμενο χώρο του deformation functor για καμπύλες με αυτομορφισμούς. Μελετάμε επίσης τις ημιομάδες του Weierstrass και τα πηδήματα της ramification filtration συναρτήσει των αυτομορφισμών και διάφορων αναλλοίωτων της καμπύλης, όπως είναι οι Boseck, Hasse-Witt και το γένος. Εισάγουμε την έννοια της representation filtration η οποία μας βοηθάει στον προσδιορισμό των πηδημάτων της ramification filtration της κυκλικής {dollar}p%5En{dollar} περίπτωσης. Μελετάμε συμμετρικές ημιομάδες του Weierstrass. Υπολογίζουμε τα γένη καμπυλών που έχουν συμμετρική ομάδα του Weierstrass σε ένα σημείο, το οποίο και αποδεικνύεται ότι είναι σημείο του Weierstrass, συναρτήσει των γεννητόρων της ημιομάδας στο σημείο αυτό. Δίνουμε παραδείγματα καμπυλών που δεν είναι κλασικές ως προς το canonical linear series και που έχουν μηδενοδύναμο τελεστή Cartier. Χαρακτηρίζουμε τέλος όλες τις maximal καμπύλες υπέρ του πεπερασμένου σώματος με {dollar}q^2{dollar} στοιχεία και με ημιομάδες του Weierstrass σε ένα ρητό σημείο που παράγονται από δύο γεννήτορες, ως τις maximal καμπύλες με συμμετρικές ημιομάδες του Weierstrass στο σημείο αυτό.