Ασυμπτωτική συμπεριφορά παραγώγων 2ης τάξης

Abstract

Σκοπός της εργασίας αυτής, είναι η μελέτη παραγώγων συστημάτων 2ης τάξης με απόσβεση. Τα παράγωγα συστήματα είναι συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων στα οποία το διανυσματικό πεδίο (η μη-γραμμικότητα), είναι το διάνυσμα κλίσης (gradient-«παράγωγος») μιας βαθμωτής συνάρτησης. Στην εργασία παρουσιάζουμε το βασικό αποτέλεσμα της εργασίας των H. Haraux και Μ. Jendoubi [HJ]. Το αποτέλεσμα αυτό εξασφαλίζει την σύγκλιση σε σημείο ισορροπίας για κάθε φραγμένη λύση για την περίπτωση που η βαθμωτή συνάρτηση του συστήματος, είναι αναλυτική. Το αποτέλεσμα αυτό είναι πολύ σημαντικό καθώς καλύπτει για το υπό μελέτη σύστημα την περίπτωση για την οποία η αρχή αναλλοίωτου δεν μπορεί να εφαρμοστεί. Η αρχή του αναλλοίωτου, εξασφαλίζει την σύγκλιση σε σημείο ισορροπίας για την περίπτωση όπου το σύνολο των σημείων ισορροπίας αποτελείται από μεμονωμένα σημεία. Το αποτέλεσμα των H. Haraux και Μ. Jendoubi [HJ], εξασφαλίζει την σύγκλιση ακόμη και στην περίπτωση που το σύστημα έχει ένα «συνεχές» από σημεία ισορροπίας, με την υπόθεση της αναλυτικότητας. Στην εργασία παρουσιάζονται τα αποτελέσματα ορισμένων απλών εξομοιώσεων με χρήση του MATHEMATICA.