Filling συναρτήσεις

Abstract

Δεδομένης μιας ομάδας, ορίζεται για αυτή ένας τρόπος συμβολισμού τον οποίο ονομάζουμε παράσταση ομάδας. Με βάση την παράσταση μπορούμε να οπτικοποιήσουμε ολόκληρη την πληροφορία που περιέχεται σε μια ομάδα, δημιουργόντας ένα γράφημα (Cayley γράφημα) Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε γεωμετρία (στο γράφημα) για να εξάγουμε αλγεβρικά συμπεράσματα. Χρησιμοποιούμε τα παραπάνω στη συνέχεια (4ο κεφάλαιο) για τη μελέτη μιας μεγάλης κατηγορίας ομάδων, των υπερβολικών ομάδων. Τα Cayley γραφήματα των ομάδων αυτών έχουν τα χαρακτηριστικά του υπερβολικού επιπέδου. Υπάρχουν πολλές ιδιότητες (αλγεβρικές ή γεωμετρικές ιδιότητες του Cayley γραφήματος) οι οποίες αποτελούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να είναι μια ομάδα υπερβολική (παρ. 4.1-4.4) Επίσης (5ο κεφάλαιο), και με την βοήθεια ενος άλλου ‘εργαλείου’, του Van Kampen διαγράμματος και κάποιων συναρτήσεων (filling functions) τις οποίες ορίζουμε με βάση αυτό, προσπαθούμε να εξετάσουμε ποιές είναι οι προυποθέσεις που πρέπει να πληρεί μια ομάδα προκειμένου να είναι επιλύσιμο σε αυτή το πρόβλημα της λέξης, ένα απο τα τρία θεμελιώδη προβλήματα της γεωμετρικής θεωρίας ομάδων (θεμελιώδη προβλήματα του Dehn).