Λύσεις σταθερής ισχύος για τη μη γραμμική εξίσωση Schrodinger

Abstract

Κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, ένα γραμμικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων στο επίπεδο μπορεί να έχει σαγματικό σημείο με ομοκλινική τροχιά. Η μέθοδος Melnikov εξετάζει τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες είναι δυνατόν το αντίστοιχο διαταραγμένο σύστημα να διατηρεί την ομοκλινική τροχιά. Στην εργασία παρουσιάζεται η κατασκευή της μη γραμμικής εξίσωσης Schrodinger, που περιγράφει τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικού κύματος κατά μήκος μιας οπτικής ίνας, λαμβανομένης υπόψη της εξάρτησης του δείκτη διάθλασης από τη συχνότητα και την ένταση του κύματος, που είναι μη γραμμική (φαινόμενο διασκεδασμού και διπλοθλαστικότητας). Στη συνέχεια γίνεται η μετατροπή της σε δυναμικό σύστημα στο επίπεδο και εξετάζονται οι λύσεις της, ιδιαίτερα αυτές που έχουν σταθερή ισχύ και αντιστοιχούν σε φωτεινά σολιτόνια. Με τη μέθοδο Melnikov εντοπίζονται οι συνθήκες για οποίες φωτεινά σολιτόνια συνεχίζουν να υπάρχουν κάτω από την επίδραση δύο συγκεκριμένων διαταραχών. Τέλος εξετάζεται το φαινόμενο της έκρηξης των λύσεων για τη μιγαδική εξίσωση Ginzburg - Landau.