Μια εισαγωγή στην θεωρία τελεστών και στους χώρους Hilbert

Abstract

Στόχος της εργασίας είναι η μελέτη της συναρτησιακής ανάλυσης, ενός κλάδου που στηρίζεται στη γενική τοπολογία. Μελετώντας και παρουσιάζοντας την εργασία, ξεκινάμε το πρώτο κεφάλαιο με μια εισαγωγή στους μετρικούς χώρους, δίνοντας τον ορισμό και κάποια απλά παραδείγματα. Αναφερόμαστε και στις βασικές τοπολογικές έννοιες των μετρικών χώρων , όπως είναι η ανοιχτή και κλειστή σφαίρα, το ανοιχτό και κλειστό σύνολο, ορίζουμε τους πλήρεις μετρικούς χώρους, θυμίζοντας τις ακολουθίες Cauchy , τη σύγκλιση ακολουθιών καθώς και βασικά παραδείγματα. Ορίζουμε τι είναι η βάση τοπολογικού χώρου και η βάση περιοχών. Συνεχίζοντας, αναφερόμαστε στους γραμμικούς χώρους με νόρμα, μαζί με κάποιες βασικές ιδιότητες και παραδείγματα αυτών. Ενα βασικό παράδειγμα χώρων με νόρμα που είναι πλήρης είναι οι χώροι Banach. Μεγάλο κομμάτι της εργασίας έχει να κάνει με τον ορισμό της ασθενούς τοπολογίας, τρης τοπολογίας Hausdorf f f, των ανακλαστικών χώρων Banach και των διαχωρίσιμων χώρων.Κλείνοντας γίνεται μια εισαγωγή στους χώρους hilbert (ορισμός και παραδείγματα).