H ανισότητα των Lieb-Thirring για αθροίσματα ιδιοτιμών Schrodinger τελεστών.

Abstract

Στην παρούσα εργασία προσδιορίζουμε το ελάχιστο άνω φράγμα του αθροίσματος των απολύτων τιμών των δέσμιων ενεργειακών καταστάσεων για τις θετικές ροπές του τελεστή Schrodinger με πραγματικό δυναμικό. Στο πρώτο κεφάλαιο διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε τη γενικευμένη αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg, την ανισότητα Ηardy, την ανισότητα Υoung και την ανισότητα Sobolev για gradients. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε τον τελεστή Birman-Schwinger και συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι είναι θετικός, φραγμένος (στο χώρο των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων στον d-διάστατο Ευκλείδιο χώρο) και αυτοσυζυγής. Στη συνέχεια διατυπώνεται και αποδεικνύεται η αρχή των Birman-Schwinger σύμφωνα με την οποία υπάρχει μια 1-1 αντιστοιχία των ιδιοτιμών του τελεστή Schrodinger και του τελεστή Birman-Schwinger. Στο τρίτο κεφάλαιο, προσεγγίζουμε το άθροισμα των απολύτων τιμών των ιδιοτιμών του τελεστή Schrodinger χρησιμοποιώντας αφενός το πρόβλημα Dirichlet σε υπόχωρο του d-διάστατου Ευκλείδιου χώρου και αφετέρου την έννοια των συναφών καταστάσεων (coherent states). Οι συναφείς καταστάσεις χρησιμοποιούνται επίσης για να προσεγγίσουμε το άθροισμα των ροπών του τελεστή Schrodinger (ημικλασσική προσέγγιση). Στο τέταρτο κεφάλαιο αποδεικνύεται η ανισότητα Lieb-Thirring η οποία παρέχει ένα άνω φράγμα για το ίδιο άθροισμα με εκείνο της ημικλασσικής προσέγγισης. Τέλος μελετάμε τη μονοτονία του λόγου της σταθεράς που προκύπτει στην ανισότητα Lieb-Thirring προς την ημικλασσική σταθερά σαν συνάρτηση της ροπής.