Αναλυτική επίλυση του πεδίου ροής γύρω από μια ελεύθερη περιστρεφόμενη σφαίρα μέσα σε ένα ρευστό (Analytical solution for the viscoelastic 3D flow field around a freely rotating rigid sphere)

Abstract

Μελετάμε το μόνιμο πεδίο ροής γύρω από μια ελεύθερη περιστρεφόμενη και άκαμπτη σφαίρα. Το ρευστό γύρω από την σφαίρα θεωρούμε ότι έχει ιξωδοελαστικές ιδιότητες, για την περιγραφή των οποίων χρησιμοποιούμε το γνωστό καταστατικό μοντέλο Upper Convected Maxwell. Μακριά από τη σφαίρα επιβάλλεται ένα γραμμικό και γνωστό προφίλ ταχύτητας. Έτσι προκύπτει ένα τρισδιάστατο πρόβλημα το οποίο περιγράφεται με τη βοήθεια των ισοζυγίων μάζας, ορμής και του καταστατικού μοντέλου. Για την αναλυτική του επίλυση, χρησιμοποιείται μία νέα μέθοδος, η οποία βασίζεται στην ανάλυση Fourier και στις φασματικές μεθόδους επίλυσης μερικών διαφορικών εξισώσεων. Στην περίπτωση της απλής διατμητικής ροής εφαρμοζόμενης μακριά από την σφαίρα, υπολογίζουμε την γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας μέχρι και την δεύτερη τάξη της διαταραχής. Η λύση αυτή δείχνει την επιβράδυνση της περιστροφής της σφαίρας σε σχέση με την περίπτωση όπου το ρευστό γύρω από την σφαίρα είναι Νευτώνειο.

We study the steady, three-dimensional, creeping and viscoelastic flow around a freely rotating rigid sphere subject to a linear velocity profile imposed at infinity. The viscoelasticity of the ambient fluid is modeled using the Upper Convected Maxwell model. A spherical coordinate system with origin at the center of the sphere is used to describe the flow field. The solution of the governing equations is expanded as a series for small values of the Deborah number. The resulting sequence of differential equations is solved analytically up to first-order in Deborah number by employing fully spectral representations for all the primary variables.In simple shear flow, the angular velocity of the rigid sphere is calculated up to second-order. This solution shows the slowdown of the rotation of the sphere with respect to the Newtonian creeping case.