Φαινόμενα διακλάδωσης τύπου Hopf σε χημικά και βιολογικά συστήματα

Abstract

Με τη μεταπτυχιακή αυτή διατριβή επιχειρείται μια εισαγωγική προσέγγιση της δυναμικής συμπεριφοράς ομογενών ταλαντούμενων αντιδράσεων που εμφανίζουν το φαινόμενο διακλάδωσης Hopf. Αρχικά, γίνεται μια συνοπτική αναφορά στη μοντελοποίηση των χημικών φαινομένων και στις ταλαντούμενες χημικές αντιδράσεις. Ακολουθεί η διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος διακλάδωσης Hopf, στην περίπτωση συστήματος δεύτερης τάξης. Στη συνέχεια μελετάται ο μηχανισμός αντίδρασης Brusselator που αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτοκαταλυόμενης ταλαντούμενης αντίδρασης με δύο χημικά ενδιάμεσα. Πρώτα εξετάζεται η ευστάθεια του συστήματος απουσία διάχυσης και με την εφαρμογή του θεωρήματος διακλάδωσης Hopf αποδεικνύεται η ύπαρξη περιοδικών λύσεων. Κατόπιν μελετάται η συμπεριφορά του ίδιου μοντέλου λαμβάνοντας υπόψη το φαινόμενο της διάχυσης και προσδιορίζονται οι συνθήκες που θα πρέπει να ικανοποιούνται για την εμφάνιση αστάθειας Turing.

In this thesis the dynamics of homogeneous oscillating reactions which give rise to Hopf bifurcations are studied. The modelling of chemical reactions and particularly the oscillating reactions are reviewed first. The Hopf bifurcation theorem which is concerned with the conditions necessary for the existence of real periodic solutions is then proved in the two-dimensional case. The Brusselator reaction mechanism, an example of an autocatalytic, oscillating chemical reaction with two intermediate species, is then studied. First, the stability of this reaction system with no diffusion effects is analyzed, the Hopf bifurcation theorem is applied and the appearance of periodic solutions is proved. In the sequel, the behaviour of the same model is studied in the presence of diffusion and the necessary and sufficient conditions for diffusion driven instability or Turing instability and the initiation of spatial patterns are derived.