Η εξίσωση KDV με απόσβεση

Abstract

Η βασική ιδέα για την απόδειξη ύπαρξης λύσης για την εξίσωση KdV βρίσκεται στη μέθοδο Galerkin. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή κατασκευάζεται μια προσεγγιστική ακολουθία λύσεων μέσω ενός κατάλληλου συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων το οποίο προκύπτει από "προβολή" του αρχικού προβλήματος σε χώρο πεπερασμένης διάστασης. Για την ακολουθία αυτή λαμβάνονται κατάλληλες εκτιμήσεις οι οποίες εξασφαλίζουν το πέρασμα στο ασθενές όριο - με την έννοια της ασθενούς σύγκλισης - στην ασθενή φόρμουλα για τη λύση. Το ασθενές αυτό όριο της προσεγγιστικής ακολουθίας είναι και η ασθενής λύση του προβλήματος. Η μέθοδος που εφαρμόζουμε για την εξίσωση KdV αποτελεί μια σημαντική τροποποίηση της μεθόδου Galerkin, η οποία οφείλεται στους T. Kato & C. Lai. Η τροποποίηση αυτή, βασίζεται στο συνδιασμό της ιδέας της αποδεκτής τριάδας (admissible triple) με αρχές σύγκρισης συνήθων διαφορικών εξισώσεων για τη λήψη των απαραίτητων εκτιμήσεων για την προσεγγιστική ακολουθία. Ο συνδυασμός αυτός, επιτρέπει μεγαλύτερη ευελιξία στους υπολογισμούς με αποτέλεσμα την παραγωγή εκτιμήσεων και τελικά τη σύγκλιση σε χώρο μεγαλύτερης ομαλότητας. Συγκεκριμένα αποδεικνύεται ύπαρξη ισχυρής λύσης. Η μοναδικότητα της λύσης αποδεικνύεται εύκολα υποθέτοντας την ύπαρξη δύο λύσεων, οπότε λαμβάνοντας κατάλληλες εκτιμήσεις και χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη συμπεραίνουμε ότι αυτές είναι ίσες σχεδόν παντού. Τέλος γίνεται μια εισαγωγική συζήτηση για το δυναμικό σύστημα που ορίζεται από τo πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση KdV. Συγκεκριμένα αποδεικνύεται η ύπαρξη απορροφητικής σφαίρας, που είναι ένα από τα βασικά βήματα που μας οδηγούν στην ύπαρξη ολικού ελκυστή.