Σχεδιασμός ασφαλιστικών συμβολαίων με χρήση θεωρίας βελτιστοποίησης σε απειροδιάστατος χώρο

Abstract

Tο πρόβλημα που μας απασχολεί σχετίζεται με την συνάρτηση αποζημίωσης (που ανήκει σε χώρο άπειρων διαστάσεων), την συνάρτηση ασφαλίστρου, τον αρχικό πλούτο και την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει την ζημιά. Αρχικός στόχος της εργασίας αυτής είναι η μεγιστοποίηση του τελικού πλούτου, δηλαδή του ποσού που απομένει αν ο ασφαλιζόμενος που έχει αρχικό πλούτο πληρώσει ασφάλιστρο και στη διάρκεια της ασφάλισης του συμβεί η αντίστοιχη ζημιά οπότε θα αποζημιωθεί. Αξίζει να σημειώσουμε ότι η τιμή του ασφάλιστρου είναι ανάλογη της αποζημίωσης που ίσως δοθεί και των κόστων που δημιουργούνται. Συνεχίσαμε λοιπόν την ερευνά μας δείχνοντας ότι τα βέλτιστα συμβόλαια βρίσκονται στο σύνορο του συνόλου των συναρτήσεων αποζημίωσης που περιέχει όλες τις συναρτήσεις που έχουν τουλάχιστον ένα θετικό ποσό ζημιάς που αποζημιώνεται πλήρως είτε περιέχει όλες τις συναρτήσεις που περιέχουν τουλάχιστον ένα θετικό σημείο μη ασφάλισης. Οπότε καταλήγουμε στο ότι ο χαρακτηρισμός βέλτιστη λύση είναι στενά συνδεδεμένος με την τοπολογική δομή του . Επίσης, το εσωτερικό και το σύνορο του είναι καλά ορισμένα οπότε οι συνθήκες βελτιστοποίησης οδηγούν σε λύσεις που βρίσκονται στο εσωτερικό του συνόλου οπότε έχουμε συνασφάλιση ή σε λύσεις στο σύνορο του συνόλου που αποτελείται από απαλλαγή, πλήρη ασφάλιση και καθόλου ασφάλιση. Μια οικονομική εξήγηση των συμπερασμάτων είναι η εξής. Η έλλειψη βελτιστοποίησης της πλήρης ασφάλισης, όταν ο ασφαλιστής αντιμετωπίζει αυξανόμενα διοικητικά κόστη, είναι ένα πασίγνωστο αποτέλεσμα στην ασφαλιστική θεωρία. Τελικά ο ασφαλισμένος δεν θα μπορέσει ποτέ να καλύψει τα κόστη μέσω των συναρτήσεων αποζημίωσης και προτιμά να κρατήσει ένα ποσοστό του κινδύνου ώστε να έχει χαμηλότερο ασφάλιστρο χρησιμοποιώντας εκτός από την πλήρη ασφάλιση συμβόλαιο με απαλλαγή και συνασφάλιση.