Μελέτη Μαθηματικών Μοντέλων για την Τήξη Υλικών στη Βιομηχανική Παραγωγή

Abstract

Η παρούσα εργασία ασχολείται με τη μελέτη προβλημάτων που αφορούν στην αλλαγή φάσης υλικών σε διαδικασίες βιομηχανικής παραγωγής. Πιο συγκεκριμένα, η διαδικασία αλλαγής φάσης ενός υλικού από στερεό σε υγρό και αντίστροφα (π.χ. τήξη πολυμερών, τήξη του πάγου, κ.λ.π.) μοντελοποιείται σαν ένα πρόβλημα κινούμενου συνόρου.Αρχικά παρουσιάζεταιένα μοντέλο που προκύπτει από τη διαδικασία παραγωγής χάλυβα στη βιομηχανία. Μετά από κάποιες παραδοχές καταλήγουμε σε ένα πρόβλημα Stefan μορφής τέτοιας που επιδέχεται αναλυτική λύση, λύση ομοιότητας. Αυτό το μοντέλο παρουσιάζεται σαν ένα πρώτο παράδειγμα για το πώς τέτοιου είδους διαδικασίες στην παραγωγή καταλήγουν σε κάποιο πρόβλημα Stefan. Επιπλέον παρουσιάζεται ο τρόπος εύρεσης της λύσης ομοιότητας και χρησιμοποιώντας αυτή τη λύση μπορούμε να βελτιώσουμε κάποια χαρακτηριστικά της συγκεκριμένης διαδικασίας παραγωγής. Επιπλέον, παρουσιαζεται ένα μοντέλο που αφορά στη συγκόλληση πολυμερών σωλήνων. Συγκεκριμένα, παράγεται ένα μοντέλο, πρόβλημα Stefan, για τη διαδικασία στις τρεις διαστάσεις, το οποίο λύνεται αριθμητικά με τη μέθοδο της ενθαλπίας. Επιπλέον χρησιμοποιώντας κάποιες ρεαλιστικές παραδοχές δείχνουμε πώς αυτό το μοντέλο μπορεί να απλοποιηθεί σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα Stefan για τα διάφορα στάδια της διαδικασίας. Βάσει αυτής της απλοποίησης μπορούμε να βρούμε λύση ομοιότητας στο πρόβλημα, δηλαδή μια αναλυτική λύση. Έτσι κάποια χαρακτηριστικά της διαδικασίας μπορούν να προσδιοριστούν με πιο ¨οικονομικό¨ τρόπο (σε σχέση με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος στην εργασία). Για την ίδια διαδικασία, συγκόλλησης σωλήνων, παρουσιάζεται μια εναλλακτική επίλυση του προβλήματος, για υλικά τα οποία χαρακτηρίζονται από μεγάλη λανθάνουσα θερμότητα, χρησιμοποιώντας, ένα ασυμπτωτικό ανάπτυγμα διαταραχής. Τέλος, παρουσιάζονται κάποια συμπεράσματα για τη χρησιμότητα των αναλυτικών λύσεων – προσεγγίσεων για τη διαδικασία παραγωγής.