Το μαθηματικό μοντέλο αντίδρασης - διάχυσης των Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov στην πληθυσμιακή βιολογία

Abstract

Η παρούσα εργασία ασχολείται με μια κατηγορία μη-γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων τύπου Αντίδρασης – Διάχυσης, η οποία αρχικά ερευνήθηκε από τους Σοβιετικούς μαθηματικούς A.N. Kolmogorov, I.G. Petrovsky και N.S. Piskunov (εξίσωση KPP) στην περίφημη μελέτη τους “A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance and its application to a biological problem”. Αρχικά παρουσιάζονται βασικά ιστορικά στοιχεία που αφορούν στη δημοσίευση της προαναφερθείσας μελέτης, καθώς και μερικά βιογραφικά στοιχεία για τους συγγραφείς της. Επίσης, κατασκευάζεται η κλασσική εξίσωση Αντίδρασης – Διάχυσης σε μια χωρική διάσταση και διατυπώνεται το σχετικό πρόβλημα αρχικών τιμών, το οποίο αποτελεί κύριο αντικείμενο της εργασίας. Προκαταρκτικά, διερευνώνται οι συνθήκες, κάτω από τις οποίες η εξίσωση KPP επιδέχεται ειδικές λύσεις, οι οποίες έχουν τη μορφή οδευόντων κυμάτων. Στη συνέχεια, αποδεικνύεται η ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών για την εξίσωση KPP ενώ, με τη βοήθεια κατάλληλων θεωρημάτων σύγκρισης και σύγκλισης λύσεων, αποδεικνύεται κατόπιν ότι αν η συνάρτηση των αρχικών δεδομένων είναι μονότονη και φραγμένη τότε, καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο, η λύση συγκλίνει ομοιόμορφα σε ένα οδεύον κύμα, με ρυθμό ο οποίος επίσης συγκλίνει. Τα παραπάνω συμπεράσματα εφαρμόζονται στη μελέτη του βιολογικού προβλήματος διάδοσης ενός επικρατούντος γονιδίου στον πληθυσμό ενός έμβιου είδους.

The present work deals with a class of non-linear partial differential equations of the Reaction – Diffusion type that was initially investigated by the Soviet mathematicians A.N. Kolmogorov, I.G. Petrovsky and N.S. Piskunov (KPP equation) in their celebrated paper “A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance and its application to a biological problem”.