Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις τύπου Ait-Sahalia

Abstract

Ο Ait- Sahalia σύγκρινε εμπειρικά εκατοντάδες μοντέλα ρυθμού συνεχούς χρόνου. Εξέταζε παραμετρικά μοντέλα, συγκρίνοντας την πυκνότητά τους με την πυκνότητα εκτιμώμενη μη παραμετρικά. Για την εφαρμογή του ρυθμού Ευρωδολαρίου απέρριψε όλα τα υπαρκτά μονοπαραγοντικά γραμμικά μοντέλα ταχυτήτων κίνησης. Αυτό οδήγησε στην πρόταση μιας νέας τάξης υψηλών μη γραμμικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων (SDEs) ως πρότυπα ταχυτήτων. Επακόλουθες μελέτες υποστήριξαν τις παρατηρήσεις του Ait–Sahalia. Ο Stanton, χρησιμοποιώντας μη παραμετρική πυρηνική παλινδρόμηση, επίσης βρήκε σημαντικές μη γραμικές σχέσεις στην ισοτιμία δεδομένων. Μερικοί συγγραφείς τόνισαν ότι η δοκιμή του Ait –Sahalia έχει ανεπαρκή δειγματική απόδοση, εξαιτίας της επιμονής εξάρτησης στα δεδομένα ταχυτήτων και στην αργή σύγκλιση του εκτιμητή μη παραμετρικής πυκνότητας. Ωστόσο, οι Hong και Li ανέπτυξαν την συλλογή δοκιμών μη παραμετρικών προδιαγραφών για μοντέλα συνεχούς χρόνου βασισμένη στη λειτουργία μεταβολής της πυκνότητας, η οποία σε αντίθεση με την ελάχιστη πυκνότητα που χρησιμοποίησε ο Ait–Sahalia συλλαμβάνει την ολική δυναμική της συνεχούς διαδικασίας. Η δοκιμή τους απέρριψε όλα τα μοντέλα εκτός από αυτό του Ait –Sahalia και CKLS . Μαζί με τον Ait-Sahalia, ο Conley et al και ο Gallant et al. επίσης χρησιμοποίησαν μια ποικιλία εμπειρικών τεχνικών για να υπολογίσουν τους παραμέτρους μοντέλων: και όλοι πρότειναν ότι ο όρος διάχυσης στο SDE αυξάνεται γρηγορότερα παρά γραμμικά.Σε αυτήν την εργασία εξετάζουμε αναλυτικά και αριθμητικά θέματα που προκύπτουν από τα μοντέλα ΣΔΕ του τύπου Ait-Sahalia. Συγκεκριμένα μας ανησυχεί η διαβεβαίωση/εγγύηση σύγκλισης στις αριθμητικές προσομοιώσεις: είναι σαφώς μια βασική προϋπόθεση εάν θέλουμε να μετρήσουμε σωστά το μοντέλο και να το χρησιμοποιήσουμε στην αποτίμηση χρηματοοικονομικών προϊόντων σε μια Monte Carlo μέθοδο.