H χρήση των άπειρα μικρών και άπειρα μεγάλων αριθμών στον Euler

Abstract

Στο πρώτο κεφάλαιο της πτυχιακής εργασίας παραθέτουμε και αναλύουμε αποσπάσματα από το έργο του Euler με τίτλο: Introductio in analysin infinitorum στα οποία γίνεται χρήση απειροστών αριθμών. Δείχνονται οι δυο διαφορετικές έννοιες και χρήσεις του απείρου, δίνονται οι τύποι που περιγράφουν μέσω σειρών την λογαριθμική και εκθετική συνάρτηση και αναφερόμαστε στον τρόπο με τον οποίο ο Euler χρησιμοποιεί την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα με την χρήση απειροστών.

Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφουμε τις βασικές αρχές της Μη-τυπικής Ανάλυσης, η οποία δείχνει και μελετά τους πραγματικούς αριθμούς και τις πραγματικές συναρτήσεις μέσω ενός διατεταγμένου σώματος *R το οποίο επεκτείνει το σύνολο R των πραγματικών αριθμών και δεν είναι αρχιμήδειο, δηλαδή περιέχει απειροστές ποσότητες. Η περιγραφή αυτή απαιτεί μια στοιχειώδη γνώση μαθηματικής λογικής. Στο τέλος του κεφαλαίου καταλήγουμε στο θεώρημα της Αρχής της Μεταφοράς.

Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφουμε σχέσεις μεταξύ υπερπραγματικών και πραγματικών αριθμών και δίνουμε τις απαραίτητες αρχές, όπως την Αρχή της επέκτασης, την Αρχή της Μεταφοράς, την Αρχή του Τυπικού Μέρους κ.α. Επίσης δίνουμε τον ορισμό της υπερακολουθίας και της υπερσειράς, τον ορισμό της καθορισιμότητας και το Θεώρημα Αθροιστικής Σύγκρισης το οποίο είναι ένα κριτήριο σχετικά με την αμελητέας σημασίας, ύπαρξη απειροστών σε άπειρη σειρά.

Στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζουμε τις υποθέσεις του Euler σε ένα αυστηρά μαθηματικό πλαίσιο. Εξετάζουμε δηλαδή τον τρόπο με τον οποίο ο Euler περιγράφει την εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση μέσω της Μη Τυπικής Ανάλυσης. Αποδεικνύουμε το Θεώρημα Αθροιστικής Σύγκρισης και μελετάμε τις σχέσεις μεταξύ τυπικών και μη τυπικών εννοιών.