Η προσέγγιση της ισότητας στη διδασκαλία και κατανόηση των αξιοσημείωτων ταυτοτήτων στα μαθηματικά της γ΄ γυμνασίου

Abstract

Ενώ υπάρχει συνέχεια της Αριθμητικής με την Άλγεβρα, υπάρχουν διαφορές στην ερμηνεία κάποιων συμβόλων στην θεώρηση τους και δημιουργούνται επιστημολογικά εμπόδια. Στην Αριθμητική τα μαθηματικά αντικείμενα είναι συγκεκριμένοι αριθμοί και το σύμβολο της ισότητας χρησιμοποιείται κυρίως αν κάνουμε πράξεις ενώ στην Άλγεβρα τα μαθηματικά αντικείμενα είναι γενικευμένοι αριθμοί και η ισότητα χρησιμοποιείται κυρίως σαν ισοδυναμία. Οι πρωταρχικές μαθηματικές έννοιες, όπως η ισότητα κατασκευάζονται με παρατήρηση και αισθητηριακά βιώματα, συγκροτούνται στον ανθρώπινο νου αλλά είναι απαραίτητη και η γλωσσική διατύπωση τους. Η επίσημη όμως γλώσσα διατύπωσης μαθηματικών εννοιών και συλλογισμών εκφράζεται ποικιλόμορφα από τους ερευνητές, τους διδάσκοντες και τους μαθητές. Η χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων βοηθά στο να αποτραπεί ο κίνδυνος σύγχυσης ή ταύτισης της έννοιας με την αναπαράσταση της και στην σύλληψη κοινών ιδιοτήτων για την απόσπαση της επιθυμητής δομής. Οι ταυτότητες, μπορούν να διατυπωθούν λεκτικά, με αλγεβρικές εκφράσεις και συμβολισμούς, με γεωμετρική ερμηνεία και αναπαραστάσεις με την βοήθεια ή μη τεχνολογικών εργαλείων. Στην εργασία αυτή προσεγγίζουμε την έννοια και την χρήση του συμβόλου της ισότητας, εστιάζοντας στην έννοια της ταυτότητας και ιδιαίτερα στην ενότητα των «Αξιοσημείωτων Ταυτοτήτων» στα Μαθηματικά της Γ΄ Γυμνασίου. Σκοπός της εργασίας είναι ο εντοπισμός εμποδίων, παρανοήσεων και λαθών που γίνονται στην χρήση της ισότητας γενικά και ειδικά στις ταυτότητες και να εξεταστεί πώς παρουσιάζεται η σπουδαιότητα και οι εφαρμογές τους στα Αναλυτικά Προγράμματα και τα Σχολικά Εγχειρίδια. Η προσέγγιση της ισότητας στην κατανόηση των ταυτοτήτων έγινε με βάση ορισμούς σχετικών εννοιών από την Λογική, τα Μαθηματικά, από τη χρήση τους στην καθημερινή γλώσσα αλλά και με μια ψυχολογική προσέγγιση. Παράλληλα έγινε έρευνα για το πώς παρουσιάζονται οι έννοιες αυτές στα Αναλυτικά Προγράμματα και τα Σχολικά Εγχειρίδια. Η συστημική αυτή προσέγγιση ολοκληρώθηκε με ένα πειραματικό ερωτηματολόγιο. Σύμφωνα με την βιβλιογραφική ανασκόπηση και τα αποτελέσματα του πειραματικού μας ερωτηματολογίου, για την σωστή κατανόηση της έννοιας της ταυτότητας απαιτείται πρωτίστως η κατανόηση της ισότητας σαν σχέση ισοδυναμίας. Η χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων, η μετάφραση μαθηματικών συμβολικών εκφράσεων με λεκτική διατύπωση και αντίστροφα, η ιστορική μελέτη και παρουσίαση των ταυτοτήτων και η χρήση τεχνολογικών εργαλείων μπορούν να βοηθήσουν στην κατανόηση τους. Όλες αυτές οι προσεγγίσεις προβλέπονται και από το Αναλυτικό Πρόγραμμα. Τα αποτελέσματα από την ανάλυση του ερωτηματολογίου δείχνουν ότι η έννοια της ισότητας και οι αναπαραστάσεις της δεν έχουν κατακτηθεί από τους μαθητές.