Η αρχή του μεγίστου και βασικές εφαρμογές της στις διαφορικές εξισώσεις

Abstract

Από τα πιο γνωστά και χρήσιμα εργαλεία στη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων είναι η αρχή του μεγίστου. Αυτή η αρχή είναι γενίκευση του γεγονότος ότι οποιαδήποτε συνάρτηση f(x) που ικανοποιεί την ανίσωση f^''>0 σε ένα διάστημα [a,b] λαμβάνει το μέγιστό της σε ένα από τα άκρα του διαστήματος. Οι λύσεις της ανίσωσης f^''>0 ικανοποιούν την αρχή του μεγίστου. Πιο γενικά, συναρτήσεις που ικανοποιούν μία διαφορική ανίσωση σε ένα χωρίο D, λαμβάνουν μέγιστο στο σύνορo του D και ικανοποιούν την αρχή του μεγίστου. Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων συχνά ξεκινάει με την ταξινόμηση των εξισώσεων σε ελλειπτικές, παραβολικές και υπερβολικές. Επειδή οι εξισώσεις που αναφέραμε παρουσιάζονται σε πολλά προβλήματα της φυσικής, oι μαθηματικοί που ασχολούνται με τη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων συγκεντρώνουν το ενδιαφέρον τους στις μερικές διαφορικές εξισώσεις που έχουν μαθηματικό και φυσικό χαρακτήρα. Ο αναγνώστης που εντρυφεί στη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων κατανοεί την ιστορική ανάπτυξη του αντικειμένου και αποκτά ξεκάθαρα κατανόηση για το λόγο που μελετώνται οι τρεις παραπάνω τύποι που αναφέραμε και γιατί άλλες μερικές διαφορικές εξισώσεις παραλείπονται από την έρευνά μας. Σε πολλές περιπτώσεις η αρχή μεγίστου βασίζεται στη φυσική διαίσθηση για διάφορα μαθηματικά μοντέλα. Οι αποδείξεις που παραθέτουμε για να εδραιώσουμε την αρχή μεγίστου είναι αρκετά αναλυτικές και χρησιμοποιούν τεχνικές που απαιτούν στοιχειώδη γνώση από απειροστικό λογισμό, θεωρήματα συνέχειας και διαφορισιμότητας. Η αρχή μεγίστου μας παρέχει πληροφορίες για τις λύσεις των διαφορικών εξισώσεων χωρίς ειδική γνώση των λύσεων καθ’ αυτό. Πιο συγκεκριμένα, η αρχή μεγίστου παρέχει προσεγγιστικά μία λύση αναζητώντας άνω και κάτω φράγματα. Η αρχή μεγίστου για μερικές διαφορικές εξισώσεις μπορεί να ειδικευτεί σε συναρτήσεις μίας μεταβλητής. Φυσικά η μονοδιάστατη αρχή μεγίστου σχετίζεται με δεύτερης τάξης συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Στο πρώτο κεφάλαιο θα δείξουμε ότι πολλά κομμάτια της θεωρίας του Sturm είναι άμεση συνέπεια της αρχής μεγίστου. Επιπλέον μας παρέχει έναν απλό και ελκυστικό τρόπο και μία εισαγωγή στους διάφορους τύπους της αρχής του μεγίστου. Στο δεύτερο κεφάλαιο θεμελιώνουμε την αρχή μεγίστου και τους ελλειπτικούς τελεστές, γενικεύσεις καθώς και κάποιες εφαρμογές. Παρ’ όλο που η αρχή μεγίστου για εξισώσεις Laplace ήταν γνωστή για αρκετά χρόνια, ο Nirenberg θεμελίωσε ισχυρές αρχές μεγίστου για γενικούς δεύτερης τάξης παραβολικούς τελεστές. Η αρχή μεγίστου για τους παραβολικούς τελεστές διαφέρει ελάχιστα από την αρχή μεγίστου για ελλειπτικούς. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την αρχή μεγίστου για παραβολικούς τελεστές. Στη συνέχεια δείχνουμε ότι η αρχή μεγίστου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει συμπεράσματα για την προσέγγιση και τη μοναδικότητα των λύσεων. Θα αναπτύξουμε την αρχή μεγίστου για ελλειπτικούς και παραβολικούς τελεστές δίνοντας θεωρήματα, αποδείξεις καθώς και παραδείγματα όπου οι απλοί υπολογισμοί αφήνονται στον αναγνώστη. Συχνά χρησιμοποιούμε το γράμμα L ακολουθούμενο από αγκύλες για να δηλώσουμε ένα γραμμικό τελεστή που δρα σε συναρτήσεις. Συμβολίζουμε με D στον Ευκλείδειο χώρο ένα χωρίο. Το σύνορο του D συμβολίζεται με ∂D. Τα σύμβολα ⋃, ∩ συμβολίζουν την ένωση και την τομή δύο συνόλων αντίστοιχα, τα έντονα γράμματα δηλώνουν διανύσματα και τα u_(x_i ) και ∂u⁄(∂x_i )δηλώνουν μερικές παραγώγους.