Μαθηματική μοντελοποίηση αιωρημάτων με άκαμπτα σφαιρικά σωματίδια

Abstract

Στην παρούσα εργασία θα εξετάσουμε τρία προβλήματα ροής γύρω από σφαιρικά σωματίδια. Η γνώση της ρεολογίας τέτοιου είδους συστημάτων είναι πολύ σημαντική αφού χρησιμοποιούνται σε μεγάλο αριθμό φυσικών και βιομηχανικών διεργασιών όπως χύτευση με έγχυση, επεξεργασία ορυκτών, βιοφυσικά συστήματα, σύνθετα υλικά κ.α. Το 1851 ο Ιρλανδός George Gabriel Stokes, προέβη στον υπολογισμό μιας έκφρασης γνωστή σήμερα ως νόμος του Stokes για την δύναμη τριβής, ή αλλιώς οπισθέλκουσα δύναμη, η οποία ασκείται σε σφαιρικό σωματίδιο το οποίο καθιζάνει σε μόνιμη κατάσταση μέσα σε Νευτώνειο ρευστό. Ο νόμος αυτός προέκυψε από την επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes στην περίπτωση που οι αδρανειακές δυνάμεις είναι μικρές σε σύγκριση με τις ιξώδεις και η ταχύτητα του ρευστού αργή.

Στο κεφάλαιο 2 θα υπολογίσουμε σε σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων το πεδίο ροής που δημιουργείται γύρω από μία σφαίρα η οποία καθιζάνει σε Νευτώνειο ρευστό (πρόβλημα Stokes). Σε αυτήν την περίπτωση η μαζική πυκνότητα του σωματιδίου είναι μεγαλύτερη από αυτή του ρευστού, για αυτό και καθιζάνει. Το πρόβλημα αυτό είναι αξονοσυμμετρικό γύρω από τον z-άξονα, δηλαδή κατά μήκος της τροχιάς καθίζησης της σφαίρας. Η έρπουσα ροή Stokes περιγράφει την ροή ενός ασυμπίεστου Νευτώνειου ρευστού, στην οποία οι ιξώδεις δυνάμεις κυριαρχούν σε σχέση με τις αδρανειακές. Στην περίπτωση αυτή οι ροές είναι αργές και ιξώδεις και η ροή χαρακτηρίζεται ως μόνιμη Έτσι το ισοζύγιο ορμής περιλαμβάνει μόνο τις δυνάμεις πίεσης, τις ιξώδεις δυνάμεις, και την βαρυτική δύναμη, εφόσον οι αδρανειακές είναι πολύ μικρές.

Στο κεφάλαιο 3 θα υπολογίσουμε σε σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων υπό αξονική συμμετρία το πεδίο ροής που δημιουργείται γύρω από μία σφαίρα η οποία καθιζάνει σε Νευτώνειο ρευστό το οποίο είναι γεμάτο από σφαιρίδια ίδιας διαμέτρου και πυκνότητας με την σφαίρα αναφοράς. Επίσης σε αυτή την περίπτωση, η μαζική πυκνότητα του σωματιδίου είναι μεγαλύτερη από αυτή του ρευστού, για αυτό και καθιζάνει. Το μοντέλο βασίζεται στην αρχική ιδέα που παρουσίασε για πρώτη φορά ο Brinkman για την ιξώδη δύναμη που ασκείται από ρέον ρευστό σε πυκνό σμήνος σφαιρικών σωματιδίων. Πρότεινε έναν τρόπο ώστε να ληφθεί υπόψη η επιρροή από όλες τις άλλες σφαίρες στο πεδίο ροής γύρω από μια σφαίρα αναφοράς. Συγκεκριμένα υπέθεσε πως για την σφαίρα όλες οι υπόλοιπες δρούν σαν ένα πορώδες μέσον και τροποποίησε κατάλληλα τον Νόμο του Darcy για πορώδη μέσα εισάγοντας έναν όρο αντίστασης στις διέπουσες εξισώσεις, ο οποίος είναι αποτέλεσμα των διαταραχών που προκαλούν όλες οι υπόλοιπες σφαίρες στο πεδίο ροής γύρω από την υπό εξέταση σφαίρα. Θεωρούμε συμπαγής σφαίρα ακτίνας α, η οποία καθιζάνει μέσα σε ασυμπίεστο νευτώνειο ρευστό, το οποίο είναι γεμάτο από συμπαγή σφαιρίδια ακτίνας α. Θεωρώντας ασυμπίεστη μόνιμη κατάσταση και λαμβάνοντας υπόψην τις δυνάμεις αντίστασης που παράγονται λόγω της παρουσίας των σωματιδίων στο ρευστό θα υπολογίσουμε αναλυτικά το πεδίο ροής γύρω από την σφαίρα.

Τέλος στο κεφάλαιο 4 θα υπολογίσουμε σε σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων το πεδίο ροής που δημιουργείται γύρω από μία σφαίρα αναφοράς η οποία κινείται μαζί με Νευτώνειο ρευστό το οποίο είναι γεμάτο από σφαιρίδια και επιπλέον το σύστημα ροής υποβάλλεται σε συμμετρική μονοαξονική επιμήκυνση. Σε αντίθεση με τις δύο προηγούμενες περιπτώσεις τα σφαιρικά σωματίδια είναι ουδέτερης πλευστότητας, δηλαδή η μαζική τους πυκνότητα είναι ίδια με αυτήν του ρευστού, και για αυτό δεν παρατηρείται καθίζηση. Η περίπτωση αυτή προσομοιώνει το πείραμα εκτατικού μονοαξονικού εφελκυσμού ενός ρευστού το οποίο χρησιμοποιείται για να προσδιοριστεί το εκτατικό του ιξώδες (το οποίο γνωρίζουμε ότι είναι μεγαλύτερο από το απλό διατμητικό ιξώδες του ρευστού). Απαραίτητα εργαλεία για τον προσδιορισμό της ταχύτητας του πεδίου ροής είναι η επίλυση της Λαπλασιανής εξίσωσης βαθμωτού πεδίου, η οποία δίνεται αναλυτικά στα υποκεφάλαια 1.2 και 1.3