Ομάδες και Άλγεβρες Lie

Abstract

Σκοπός της εργασίας αυτής, είναι να δώσουμε τις βασικές έννοιες της εισαγωγής της θεωρία ομάδων και αλγεβρών Lie. Θεωρούμε γνωστές τις βασικές έννοιες της Διαφορικής Γεωμετρίας και ορίζουμε την έννοια της Ομάδας Lie και στη συνέχεια της Άλγεβρας Lie μιας Ομάδας Lie καθώς επίσης και βασικών ιδιοτήτων τους. Θεμελιωτές της θεωρίας των ομάδων και αλγεβρών Lie είναι οι S. Lie, W. Killing, C. Chevalley, E. Cartan, F. Engel, I. Aldo, H. Weyl και J. Von Neumann. Μια από τις θεμελιώδεις αρχές του S. Lie ήταν η μελέτη των ομάδων Lie μέσω των εφαπτόμενων χώρων στο ταυτοτικό τους στοιχείο. Οι χώροι αυτοί ονομάζονται άλγεβρες Lie και παίζουν σημαντικό ρόλο στα Μαθηματικά και την Φυσική. Πιο συγκεκριμένα, στο 1ο κεφάλαιο υπενθυμίζουμε βασικές ιδιότητες και ορισμούς Διανυσματικών Πεδίων, δίνουμε τον ορισμό της Άλγεβρας Lie κι εφοδιάζουμε το σύνολο των Διανυσματικών Πεδίων με την δομή της Άλγεβρας Lie. Στο 2ο κεφάλαιο παραθέτουμε τον ορισμό της Ομάδας Lie καθώς επίσης και κάποια παραδείγματα. Ορίζουμε τα αριστερά αναλοίωτα διανυσματικά πεδία και τις μονοπαραμετρικές υποομάδες μιας ομάδας Lie, τα οποία μαζί με τον εφαπτόμενο χώρο στο ταυτοτικό αποτελούν 3 διαφορετικούς τρόπους έκφρασης της Άλγεβρας Lie μιας Ομάδας Lieκαι αποδεικνύουμε ότι αυτά τα 3 σύνολα εφοδιασμένα με την δομή της Άλγεβρας Lie είναι ισόμορφα. Τέλος, ορίζουμε την εκθετική απεικόνιση μιας ομάδας Lie και αναφέρουμε κάποιες ιδιότητές της. Η εκθετική απεικόνιση συνδέει τις ομάδες Lie με τις άλγεβρες Lie και αποτελεί βάση της θεωρίας Lie. Στο 3ο και τελευταίο κεφάλαιο δίνουμε τον ορισμό των παραγωγίσεων Αλγεβρών Lie, των εσωτερικών παραγωγίσεων καθώς επίσης και της συζυγούς απεικόνισης της ομάδας Lie και της άλγεβρας Lie.