Μαθηματικά Μοντέλα για τη Θερμική Διάχυση σε μη ομογενείς αντιδράσεις

Abstract

Το φαινόμενο της έκρηξης εμφανίζεται σε διάφορους τύπους μη γραμμικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, εμφανίζεται σε εξισώσεις Schroedinger, υπερβολικές εξισώσεις και παραβολικές εξισώσεις. Σε αυτή την εργασία θα ασχοληθούμε με την συμπεριφορά παραβολικών εξισώσεων.

Έχουμε την εξίσωση της θερμότητας u(t) = Δu + f(x,t,u), με αρχικές και συνοριακές συνθήκες, με την μεταβλητή u να είναι η θερμοκρασία σε μια χημική αντίδραση. Η f, η οποία είναι θετική, αναπαριστά την πηγή θερμότητας και η δεύτερης τάξης παράγωγος αναπαριστά την διάχυση. Σε περίπτωση όπου υψηλότερες ταχύτητες επιτευχθούν στην χημική αντίδραση θα παραχθεί θερμότητα. Ερώτημα: Τί συμβαίνει σε αυτή την περίπτωση?

Εκτός εάν η ενέργεια που παράξει η θερμότητα διασκορπιστεί μέσω της διάχυσης, η θερμοκρασία πιθανά θα γίνει πολύ υψηλή. Οι μη γραμμικοί όροι τύπου e^u ή u^p είναι τα πιο συχνά παραδείγματα. Ακόμα και στις πιο απλές μορφές όπου η f εξαρτάται μόνο από την u και είναι μη αρνητική υπάρχει ανταγωνισμός μεταξύ της διάχυσης και της πηγής θερμότητας και δεν είναι ξεκάθαρο αν η θερμοκρασία θα γίνει άπειρη σε πεπερασμένο χρόνο. Έτσι διερωτόμαστε: Θα συμβεί η έκρηξη σε πεπερασμένο χρόνο? Αν η έκρηξη συμβεί σε πεπερασμένο χρόνο, ποιά είναι τα σημεία για τα οποία συμβαίνει αυτή? Ποιά η ασυμπτωτική συμπεριφορά της λύσης κοντά στον χρόνο έκρηξης?

Θα μελετήσουμε επίσης παραβολικά προβλήματα αρχικών συνθηκών με την Frank - Kamenetski προσέγγιση για χημικές αντιδράσεις όπου η ενέργεια ενεργοποίησης είναι υψηλή. Σε πολλά συστήματα συμβαίνει έκρηξη σε πεπερασμένο χρόνο για την λύση όταν η παράμετρος Frank - Kamenetski δ είναι μεγαλύτερη από το άνω φράγμα δ* στο φάσμα του αντίστοιχου στάσιμου προβλήματος. Όταν το άνω φράγμα βρίσκεται μέσα στο φάσμα ο χρόνος έκρηξης αυξάνεται με ρυθμό τάξης O(δ-δ*)^{-1/2} καθώς το δ προσεγγίζει το δ* από πάνω.