Εισαγωγή στους τελεστές Toeplitz

Abstract

Σε αυτήν την εργασία παρουσιάζεται ένα μέρος της Θεωρίας Τελεστών και ειδικότερα ασχολούμαστε με φραγμένους γραμμικούς τελεστές σε χώρους Hilbert. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζονται κάποιες χρήσιμες για τη συνέχεια μαθηματικές έννοιες (Θεωρήματα, Ορισμοί κ.τ.λ.). Το δεύτερο μέρος είναι αφιερωμένο στους τελεστές και τις ιδιότητές τους και τέλος, στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο επικεντρωνόμαστε σε ειδικές κατηγορίες τελεστών, τους τελεστές Laurent και τους τελεστές Toeplitz. Πιο αναλυτικά, στο πρώτο κεφάλαιο ορίζουμε τους διανυσματικούς χώρους, τους χώρους με νόρμα, τους χώρους με εσωτερικό γινόμενο καθώς και τους χώρους Hilbert, ενώ επιπλέον παρουσιάζουμε χρήσιμες ιδιότητές τους. Στο δεύτερο κεφάλαιο που όπως προαναφέρθηκε αφορά τελεστές, αναλύονται οι φραγμένοι γραμμικοί τελεστές, η αντιστρεψιμότητά τους, οι συζυγείς και αυτοσυζυγείς τελεστές, οι συμπαγείς τελεστές και επιπλέον ορίζεται το φάσμα ενός τελεστή. Τέλος, στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζονται αναλυτικά οι τελεστές Laurent και Toeplitz, μαζί με μία υποκατηγορία Toeplitz τελεστών, τους Band Toeplitz τελεστές.