Μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις διασποράς: εξισώσεις Schrodinger ανώτερης τάξης

Abstract

Η μη γραμμική εξίσωση Scrhrodinger αποτελεί ένα από τα θεμελιώδη και καθολικά μοντέλα για τη μη γραμμική κυματική διάδοση. Εμφανίζεται ως μοντέλο που μπορεί να περιγράψει τη διάδοση κυμάτων σε νερό, στη μη γραμμική οπτική, φυσική συμπυκνωμένης ύλης και μαθηματική βιολογία. Σημαντικές είναι και οι παραλλαγές της που περιέχουν γραμμικούς όρους ανώτερης τάξης ή και μη γραμμικότητες που εμπλέκουν παραγώγους. Οι παραλλαγές αυτές μπορούν να περιγράψουν ακριβέστερα μια σειρά τέτοιων φαινομένων και δύο από αυτές αποτελούν το αντικείμενο της εργασίας. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται η παραγωγή μιας τέτοιας εξίσωσης με αφετηρία τον ηλεκτρομαγνητισμό και τη δυναμική των ρευστών, παρακολουθώντας τα νημάτια στροβιλισμού που παρατηρούνται στα ρευστά και κάνοντας χρήση του μετασχηματισμού Hasimoto, που καθορίζει την εξέλιξή τους. Στο 2ο κεφάλαιο διαπραγματεύονται ερωτήματα που αφορούν την ολική ύπαρξη λύσεων για το πρόβλημα της παραπάνω εξίσωσης με αρχικές και περιοδικές συνοριακές συνθήκες. Το βασικό αποτέλεσμα αφορά την ολική ύπαρξη ως προς το χρόνο Η2 - ασθενών λύσεων και τον καθοριστικό ρόλο που παίζει η συνθήκη ισορροπίας μεταξύ των συντελεστών της εξίσωσης. Στη συνέχεια διερευνώνται οι συνθήκες, κάτω από τις οποίες η εξίσωση υποστηρίζει λύσεις οδευόντων κυμάτων. Τα κύρια ευρήματα είναι οι προϋποθέσεις που πρέπει να ισχύουν για να υποστηρίζονται λύσεις φωτεινών ή σκοτεινών σολιτονίων, καθώς και στασίμων κυμάτων. Εδώ αναδεικνύεται και πάλι ο σημαντικός ρόλος της συνθήκης ισορροπίας μεταξύ των συντελεστών. Στο 4ο κεφάλαιο διερευνάται η αστάθεια που μπορεί να παρατηρηθεί στη διαμόρφωση επιπέδων κυμάτων - λύσεων της εξίσωσης. Το συμπέρασμα είναι οι σχέσεις που πρέπει να ικανοποιούνται ανάμεσα στους συντελεστές της εξίσωσης και στον κυματαριθμό του φέροντος κύματος. Τέλος εξετάζεται μια δεύτερη παραλλαγή της εξίσωσης και προσδιορίζονται οι προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες παρουσιάζεται έκρηξη των λύσεών της.