Η συνάρτηση επιμερισμού για μικρούς χρόνους εφαρμόζοντας τη μέθοδο των ειδώλων

Abstract

Η παρούσα εργασία χωρίζεται σε δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος μελετάμε την εξίσωση θερμότητας σε πολλαπλότητες. Συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο ορίζουμε τον τελεστή Laplace και εισάγουμε τους χώρους Lebesque, τις κατανομές και τους χώρους Sobolev σε μία πολλαπλότητα με βάρος. Στη συνέχεια επεκτείνουμε τον τελεστή Laplace στον αυτοσυζυγή τελεστή Dirichlet-Laplace και θεωρούμε μία L^2 εκδοχή του προβλήματος αρχικών τιμών για την εξίσωση της θερμότητας. Με τη βοήθεια της φασματικής θεωρίας ορίζουμε την ημιομάδα θερμότητας, η οποία λύνει το παραπάνω πρόβλημα. Στο δεύτερο κεφάλαιο αποδεικνύουμε την ύπαρξη του πυρήνα θερμότητας και τις ιδιότητές του. Στο τρίτο κεφάλαιο αποδεικνύουμε ότι το φάσμα του τελεστή Dirichlet-Laplace για ένα σχετικά συμπαγές ανοικτό υποσύνολο μίας πολλαπλότητας με βάρος είναι διακριτό και αποδεικνύουμε μία σχέση που δίνει τον πυρήνα θερμότητας συναρτήσει των ιδιοτιμών και αντίστοιχων ιδιοσυναρτήσεων του τελεστή Dirichlet-Laplace. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφέρουμε ορισμένα στοιχεία για τον τελεστή Green και τις συναρτήσεις Green. Στο δεύτερο μέρος της εργασίας χρησιμοποιούμε τα αποτελεσματα του πρώτου μέρους στην περίπτωση των Ευκλείδιων χώρων. Ο στόχος μας είναι να βρούμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της συνάρτησης επιμερισμού για ένα ανοιχτό και φραγμένο υποσύνολο Ω ενός Ευκλείδιου χώρου στο όριο για μικρούς χρόνους. Η συνάρτηση επιμερισμού, η οποία εξαρτάται από το Ω μέσω των ιδιοτιμών της Λαπλασιανής, μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια του πυρήνα θερμότητας του Ω. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ειδώλων, κατασκευάζουμε τον πυρήνα θερμότητας για συγκεκριμένα υποσύνολα του R^n σε μία, δύο και τρεις διαστάσεις, με τη βοήθεια του πυρήνα θερμότητας του μη φραγμένου χώρου. Στη συνέχεια βρίσκουμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της συνάρτησης επιμερισμού, η οποία σε κάθε περίπτωση περικλείει γεωμετρικές πληροφορίες για το Ω.