Μελέτη τελεστών σε χώρους banach

Abstract

Στο πρώτο κεφάλαιο θα αναλύσουμε τα θεωρήματα Hahn−Banach και τις πολλαπλές μορφές τους. Πιο συγκεκριμένα, στην πρώτη παράγραφο του κεφαλαίου θα εξετάσουμε την αναλυτική μορφή του θεωρήματος Hahn−Banach μέσω της επέκτασης των γραμμικών συναρτησιακών. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα ασχολήθούμε με το λήμμα του Baire το οποιό είναι ένα κλασσικό αποτέλεσμα και παίζει ουσιώδη ρόλο στις αποδείξεις του κεφαλαίου αυτού. Επίσης θα αποδείξουμε το θεώρημα Banach − Steinhaus και θα παραθέσουμε μερικά πορίσματα του θεωρήματος αυτού. Τέλος θα ασχοληθούμε με τα θεωρήματα της ανοικτής απεικόνισης και του κλειστού γραφήματος. Τέλος στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε τους συμπαγείς τελεστές και κάποιες ιδιότητές τους σε χώρους Banach. Πιο συγκεκριμένα, στην αρχή εξετάζουμε τη σχέση των συμπαγών τελεστών με τους πεπερασμένης τάξης και στη συνέχεια μελετάμε το ’φάσμα’ τους με την βοήθεια του θεωρήματος Riesz.