Εισαγωγή στη φασματική θεωρία

Abstract

Η εργασία αυτή έχει σαν στόχο να παρουσιάσει μια εισαγωγή στη θεωρία των τελεστών σε χώρους Hilbert και κάποιες εφαρμογές της θεωρίας αυτής στην μελέτη των ολοκληρωτικών εξισώσεων. Οι γραμμικοί τελεστές σε χώρους Hilbert χρησιμοποιούνται ευρέως για να αναπαριστούν φυσικές ποσότητες και ως εκ τούτου η σημασία τους στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και στη μαθηματική φυσική είναι μεγάλη. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται βασικές έννοιες (όπως εσωτερικό γινόμενο, καθετότητα, ορθοκανονική βάση και συντελεστές Fourier) και αποτελέσματα σχετικά με τον χώρο του Hilbert.Όλοι οι χώροι Hilbert θεωρούνται πεπερασμένης διάστασης ή (κυρίως) απειροδιάστατοι αλλά διαχωρίσιμοι. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε τους συμπαγείς γραμμικούς τελεστές και δίνεται μία εισαγωγή στην φασματική θεωρία τους. Ορίζουμε τις έννοιες του φάσματος, της φασματικής ακτίνας, καθώς και τις έννοιες της ιδιοτιμής και του ιδιονύσματος ενός γραμμικού τελεστή, οι οποίες παίζουν κεντρικό ρόλο στη θεωρία τελεστών και στις εφαρμογές της. Το τρίτο κεφάλαιο αποτελεί μία μικρή εισαγωγή στη θεωρία των μη φραγμένων τελεστών. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο αυτής της εργασίας μελετάμε τις εφαρμογές της θεωρίας των τελεστών σε χώρους Hilbert στις ολοκληρωτικές εξισώσεις. Οι εξισώσεις που εξετάζουμε είναι οι εξισώσεις του Volterra πρώτου και δεύτερου είδους και οι εξισώσεις του Fredholm δεύτερου είδους. Δείχνεται ότι μια συστολή έχει μοναδικό σταθερό σημείο το οποίο το βρίσκουμε με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων. Δίνουμε μία σειρά από θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας για εξισώσεις που περιέχουν ένα γραμμικό τελεστή σε ένα χώρο Hilbert, όπως είναι το Εναλλακτικό Θεώρημα του Fredholm.