Δυναμικά Συστήματα και Θεωρία Διακλαδώσεων

Abstract

Ένα δυναμικό σύστημα περιγράφει την μεταβολή των στοιχείων ενός χώρου στο πέρασμα του χρόνου. Τέτοια συστήματα έχουν εφαρμογή σε επιστήμες όπως η φυσική, η χημεία, η βιολογία και τα οικονομικά.

Αυτή η πτυχιακή εργασία αποτελεί μια εισαγωγή στη βασική θεωρία των δυναμικών συστημάτων. Συγκεκριμένα στο πρώτο κεφάλαιο μελετάμε αυτόνομες εξισώσεις στη μια διάσταση. Ξεκινάμε με το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας και ορίζουμε τη ροή. Έπειτα προσεγγίζουμε γεωμετρικά τη ροή και ορίζουμε την τροχιά, τα σημεία ισορροπίας και προσδιορίζουμε την ευστάθεια ή την αστάθεια σε αυτά. Ύστερα μελετάμε τη συμπεριφορά των λύσεων στην παρουσία παραμέτρου. Στο δεύτερο κεφάλαιο ασχολούμαστε με συστήματα στο επίπεδο. Όπως και στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάζουμε γραμμικά συστήματα και ορίζουμε τη ροή, την τροχιά, και τα σημεία ισορροπίας. Έπειτα, για μη γραμμικά συστήματα με τη γραμμικοποίηση χαρακτηρίζουμε τα σημεία ισορροπίας (ευστάθεια - αστάθεια) και για σαγματικά σημεία ισορροπίας δίνουμε τους ορισμούς της ευσταθής και ασταθής πολλαπλότητας. Τέλος ασχολούμαστε με την ευστάθεια και τις διακλαδώσεις για μη-υπερβολικά συστήματα πρώτα στην παρουσία μιας μηδενικής ιδιοτιμής και ύστερα στην παρουσία μόνο φανταστικών ιδιοτιμών. Ειδικά στην παρουσία φανταστικών ιδιοτιμών ασχολούμαστε με το θεώρημα διακλαδώσεων Poincare-Andronov-Hopf.