Τοπολογική Ανάλυση Δεδομένων

Abstract

Συνήθως, τα δεδομένα είναι υπό μορφή πεπερασμένου συνόλου θορυβωδών σημείων, με δείγμα από έναν άγνωστο χώρο και ενσωματωμένο σε ένα χώρο μεγάλης διάστασης. Κατά την Τοπολογική Ανάλυση Δεδομένων γίνεται προσπάθεια ανάκτησης του χώρου δειγματοληψίας. Κύριος στόχος της παρούσας διπλωματικής αποτελεί η παρουσίαση δύο βασικών μεθόδων της Τοπολογικής Ανάλυσης Δεδομένων, της Εμμένουσας Ομολογίας και του αλγορίθμου Mapper. Η Εμμένουσα Ομολογία υπολογίζει τοπολογικά χαρακτηριστικά του χώρου δειγματοληψίας κάνοντας χρήση αλγεβρικής τοπολογίας, ενώ ο αλγόριθμος Mapper αποτελεί μία απεικονιστική μέθοδο που παρέχει πληροφορίες για το σύνολο των δεδομένων συμπιέζοντας ένα σύνολο δεδομένων μεγάλων διαστάσεων και κατασκευάζοντας τοπολογικά δίκτυα.

Data is often in the form of a finite set of noisy points, sampled from an unknown space and embedded in a high dimensional space. TDA recovers the structure of the sampled space. Main purpose of the present master thesis is the presentation of two basic methods of Topological Data Analysis, Persistent Homology and Mapper Algorithm. Persistent homology is an algebraic tool for measuring topological features of the sampled space, while mapper algorithm is a visualization method that provides information for data, compresses a set of large dimension data and constructs topological networks.