Εισαγωγή στη θεωρία διάστασης ελκυστών δυναμικών συστημάτων

Abstract

Τις τελευταίες δεκαετίες, φυσικοί, βιολόγοι, αστρονόμοι, γιατροί και οικονομολόγοι έχουν αναπτύξει ένα νέο τρόπο να κατανοούν τη πολυπλοκότητα στη φύση. Πρόκειται για μια νέα επιστήμη, το χάος όπως ονομάζεται, που μελετά πώς από το τυχαίο, το ασταθές, το απρόβλεπτο, την αταξία δημιουργείται τάξη και μορφή.

Η Θεωρία του Χάους μελετά τη συμπεριφορά ορισμένων μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων, που είναι ιδιαίτερα ευαίσθητα στις αρχικές συνθήκες. Μικρές διαφορές στις αρχικές συνθήκες (όπως π.χ. αυτές που οφείλονται σε σφάλματα στρογγυλοποίησης σε αριθμητικούς υπολογισμούς) αποδίδουν πολύ διαφορετικά αποτελέσματα για τα δυναμικά συστήματα, καθιστώντας τη μακροπρόθεσμη πρόβλεψη αδύνατη σε γενικές γραμμές. Αυτό συμβαίνει παρ’ όλο που αυτά τα συστήματα είναι αιτιοκρατικά (“ντετερμινιστικά”), πράγμα που σημαίνει ότι η μελλοντική συμπεριφορά τους καθορίζεται πλήρως από τις αρχικές συνθήκες τους, χωρίς να εμπλέκονται τυχαίες παράμετροι. Με άλλα λόγια, η ντετερμινιστική φύση αυτών των συστημάτων δεν είναι αναγκαία συνθήκη για να τα κάνει προβλέψιμα. Η Μη Γραμμική Δυναμική η οποία γνώρισε πολύ μεγάλη ανάπτυξη τα τελευταία 50 χρόνια κυρίως λόγω της χρήσης των ηλεκτρονικών υπολογιστών και της εφαρμογής τους σε πολλούς επιστημονικούς κλάδους. Αν και τα μη γραμμικά δυναμικά συστήματα, εν γένει, περιγράφονται από «απλές εξισώσεις», μπορούν να αναδείξουν την πολύπλοκη συμπεριφορά πολύ απλών φυσικών συστημάτων. Το χάος αποτελεί την κορωνίδα αυτής της πολύπλοκης συμπεριφοράς.

Το πρώτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας αναφέρεται σε διακριτά συστήματα (απεικονίσεις) τα οποία μπορούν να μας περιγράψουν πιο κατανοητά αλλά και πιο αυστηρά την πολύπλοκη συμπεριφορά και το χάος.Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα μονοδιάστατης απεικόνισης είναι η λογιστική απεικόνιση. Συγκεκριμένα μελετάμε αριθμητικά και αναλυτικά τη διακριτή λογιστική απεικόνιση ως “ένα απλό μαθηματικό πρότυπο με πολύπλοκες δυναμικές ιδιότητες”, όπουπαρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά για κάποιες τιμές της δυναμικής παραμέτρου της.

Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγουμε την έννοια των fractals και της φρακταλικής γεωμετρίας (fractalgeometry) μέσω κάποιων απλών παραδειγμάτων. Επίσης δίνεται ο ορισμός της διάστασης ομοιότητας και η εφαρμογή της στο σύνολo του Cantorκαι της καμπύλης του VanKoch.Tέλος δίνεται ο ορισμός της κιβωτικής, συσχετικής και σημειακής διάστασης και αποδεικνύεται η σχέση που ισχύει μεταξύ αυτών των διαστάσεων.