Generalized linear mixed models with applications

Abstract

This thesis is conducted at the Department of Mathematics, Division of Stat- istics and Actuarial-Financial Mathematics of the University of the Aegean, in the context of the MSc program in Statistics and Data Analysis. Its purpose is to analyze the class of Generalized Linear Mixed Models (GLMMs) and their implementation in real life problems, through a thorough study on influenza-like illness (ILI) rate data. More specifically, we focus on a special class of GLMMs, the class of periodic regression mixed models for modeling the ILI time series data. For the trend, linear, quadratic, cubic and quartic trends are considered while for the seasonal component, the most widely used periodicities are implemented, i.e. 12, 6, and 3 months. The class extends further to include first and second order AR and MA parts while environmental covariates potentially affecting the output are also included. The structure of the thesis consists of four Chapters. In Chapter 1, Generalized Linear (GLMs) and Generalized Linear Mixed Models are presented along with their properties. Some of the topics that will be discussed are, logistic regression model, maximum likelihood estimation and, test of hypotheses. Chapter 2, constitutes an introduction to univariate time series analysis. Important terms such as autocorrelation and white noise are defined, as well as the back- ward shift operator. At the end, various time series models (i.e., AR, (S)ARIMA, and, Periodic) are presented. Chapter 3, introduces four basic model selection criteria. Among them are, the Modified Divergence Information Criterion (MDIC) and R2, which are GLMM(m) being used for the selection of the ”best overall” model of the application that follows. Finally, in Chapter 4, an experimental study is applied on influenza-like illness (ILI) rate data, collected weekly through the sentinel surveillance system, provided by the Department of Epidemiological Surveillance and Intervention of the Hellenic Center for Disease Control and Prevention (H.C.D.C.P.). An exhaustive search process takes place, in order to provide guidelines for the selection of the optimal periodic regression mixed model for early and accurate outbreak detection in an epidemiological surveillance system, as well as for its proper use and implementation.

Η παρούσα διπλωματική εκπονήθηκε στο Τμήμα Μαθηματικών, Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών του Πα- νεπιστημίου Αιγαίου, στα πλαίσια του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπου- δών Στατιστική και Ανάλυση Δεδομένων. Σκοπός της, είναι η ανάλυση της κλάσης των Γενικευμένων Γραμμικών Μικτών Μοντέλων καθώς και η εφαρμογή τους σε προβλήματα της καθημερινότητας, μέσω μιας πλήρους μελέτης πάνω σε δεδομένα γρίπης (ILI). Συγκεκριμένα, επικεντρωνόμαστε σε μια ειδική κλάση των Γενικευμένων Γραμμικών Μικτών Μοντέλων, την κλάση των περιοδικών μικτών μοντέλων παλινδρόμησης για την μοντελοποίηση των ILI χρονολογικών δεδομένων. Για την τάση θεωρούνται οι γραμμικού, τετραγωνικού, κυβικού και η τετάρτου βαθμού τάσεις, ενώ για τον εποχικό παράγοντα εφαρμόζονται οι πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες περιο- δικότητες (12, 6 και 3 μηνών). Η κλάση επεκτείνεται περαιτέρω ώστε να συμπεριλάβει πρώτου και δευτέρου βαθμού AR και MA όρους ενώ περιλαμβάνονται και περιβαλ- λοντικές συμμεταβλητές που πιθανόν να επηρεάζουν το αποτέλεσμα. Η δομή της δηπλωματικής αποτελείται από τέσσερα Κεφάλαια. Στο Κεφάλαιο 1, παρουσιάζονται τα Γενικευμένα Γραμμικά και τα Γενικευμένα Γραμμικά Μικτά Μοντέλα μαζί με τις ιδιότητές τους. Κάποια από τα θέματα που θα αναλυθούν είναι, το λογιστικό μοντέλο παλινδρόμησης, η εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας και ο έλεγχος υποθέσεων. Στο Κεφάλαιο 2, γίνεται εισαγωγή στην μονομεταβλητή ανάλυση χρονοσειρών. Ορίζονται σημαντικές έννοιες, όπως αυτή της αυτοσυσχέτησης, του λευκού θορύβου όπως και του προς τα πίσω τελεστή. Τέλος, παρουσιάζονται διάφορα μοντέλα χρονο- σειρών όπως τα AR, τα (S)ARIMA και τα Περιοδικά. Στο Κεφάλαιο 3, γίνεται η παρουσίαση τεσσάρων βασικών κριτηρίων επιλογής μοντέλου. Μεταξύ αυτών είναι και τα Modified Divergence Information Criterion (MDIC) και R2 , τα οποία χρησιμοποιούνται στην εφαρμογή των δεδομένων GLMM(m) γρίπης για την επιλογή του ”καλύτερου” μοντέλου. Τέλος, στο Κεφάλαιο 4, εφαρμόζεται μια πειραματική μελέτη σε δεδομένα γρίπης (ILI rates), που συλλέχθηκαν εβδομαδιαίως την περίοδο 2014−2016 μέσω του συστήματος παρακολούθησης sentinel, τα οποία παραχωρήθηκαν από το Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης του Ελληνικού Κέντρου Ελέγχου και Πρόληψης Νοσημάτων (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ). Πραγματοποιείται μια λεπτομερής έρευνα, με σκοπό τον προσδιορισμό του καταλληλότερου περιοδικού μικτού μοντέλου παλινδρόμησης για την έγκαιρη και έγκυρη ανίχνευση επιδημικών εξάρσεων σε ένα επιδημιολογικό σύστημα παρακολούθησης, καθώς και την κατάλληλη χρήση και εφαρμογή του.