Μοντέλα Markov σε συνεχή χρόνο

Abstract

Η παρούσα πτυχιακή εργασία πραγματοποιήθηκε κατά τη διάρκεια των σπουδών μου στο τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου κι έχει ως θέμα τα ‘Μοντέλα Markovσε Συνεχή Χρόνο’. Το περιεχόμενο είναι όσο το δυνατό ποιο κατανοητό όσον αφορά το μαθηματικό αλλά και το θεωρητικό του μέρος.Αρχικά, στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεταιη διαδικασίατης τυχαίας μεθόδουτωνσημείων, όπουτο πιο απλό παράδειγμα είναι η ομογενής διαδικασία Poisson. Η διαδικασία αυτή είναιένα μετρήσιμο σύνολο τυχαίων σημείων της πραγματικής ευθείας. Δηλαδή, oχρόνος εμφάνισης κάποιου συμβάντος, και αυτό γιατί τα σημεία καλούνται επίσης καισυμβάντα. Γενικά,η διαδικασία της τυχαίας μεθόδου τωνσημείωνεμφανίζεται σε στοχαστικά μοντέλα όπου η κατάσταση ενός συστήματος αλλάζει από την εμφάνιση κάποιου συμβάντος. Σ’ αυτή την περίπτωση μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τη φράση ‘Στοχαστικά συστήματα που υποκινούνται από τις διαδικασίεςσημείων’, καιεάν η κατάσταση του συστήματος είναι διακριτή, προτιμάται να γίνεται λόγος για ‘Στοχαστικό διακριτό σύστημα’. Τα βασικά παραδείγματα είναι η μέθοδος Poissonκαι οι συνεχούς χρόνου αλυσίδες Markov.Στη συνέχεια, το δεύτερο κεφάλαιοθα αναλυθείη προσέγγισηπου αφοράτις συνεχούς χρόνου αλυσίδες Markovκαιβασίζεται στη ‘Μεταβατική ημιομάδα’. Είναι μια συνεχούς χρόνου αναλογία των επαναλήψεων του μεταβατικού πίνακα σε διακριτό χρόνο. Το βασικό της αντικείμενο είναι η απειροελάχιστη γεννήτρια.Είναι μια διαφορική πράξηχρησιμοποιείται σε εξισώσεις εξελίξεων όπως η εξισορροπητική εξίσωση Kolmogorov.Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στο Διαφορικό Σύστημα Kolmogorov.Χωρίζεται σε ανάποδο και κανονικό. Στη γενική περίπτωση το πρώτο αναλύει το χρονικό διάστημα (0,t+h) από ‘το πρώτο βήμα της ανάλυσης’, ενώ το δεύτερο περιγράφει την κατανομή πιθανότητας μιας κατάστασης σε χρόνο t διατηρώντας το αρχικό σημείο σταθερό. Επίσης, το σύστημα αυτό σχετίζεται και με τις διαδικασίες κανονικού άλματος, αφού οι αλυσίδες Markovπου είναι πιθανόν να συναντηθούν είναι διαδικασίες κανονικού άλματος.Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στην ισχυρή ιδιότητα Μarkov, η οποία, περιγράφεται από μια ομογενή αλυσίδα κανονικού άλματος. Στη συνέχεια, γίνεται λόγος γιαμιαμη φθίνουσα ακολουθία μεταβατικών χρόνων στη διαδικασία κανονικού άλματος, η οποία ονομάζεται ενσωματωμένη διαδικασία.Στο πέμπτο κεφάλαιο, παρουσιάζεται το κριτήριο στάσιμης κατανομής της εργοδικότητας. Αυτό σχετίζεται με την παροδικότητα, την υποτροπή, την μη αναγωγιμότητα και τη θετική υποτροπή ενός κανονικού άλματος μιας ομογενούς αλυσίδας Markov. Στη συνέχεια παρατίθεται ηλογική της αναστροφής σε συνεχή χρόνο η οποία σχετίζεται και με τοδιακριτό χρόνο.Τέλος, στο έκτο κεφάλαιο, αναλύεται ημακροπρόθεσμη συμπεριφορά μιας ομογενούς αλυσίδας Markov. Οι συνεχείς χρόνου ομογενείς αλυσίδες Markovπαρουσιάζουν μια περιοριστική συμπεριφορά σε σχέση με τις διακριτού χρόνου ομογενείς αλυσίδες. Αντιμετωπίζουμε αρχικά την υπόθεση της εργοδικότητας και στη συνέχεια την υπόθεση της απορρόφησης.