Διαφορικές μορφές

Abstract

H εργασία με τίτλο ’Διαφορικές Μορφές’ έγινε στα πλαίσια του προγράμματος μεταπτυχιακών σπουδών του Πανεπιστημίου Αιγαίου και αποτελεί τη μεταπτυχιακή μου διατριβή για την απόκτηση τίτλου Master στα Mαθηματικά. Η Κλασσική Διαφορική Γεωμετρία έχει ως αντικείμενο τη μελέτη των Καμπυλών και Επειφανειών του Rn,n = 2, 3 και ως κύριο εργαλείο χρησιμοποιεί τον Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό. Η εργασία που καθιέρωσε τη Διαφορική Γεωμετρία ως ανεξάρτητο κλάδο της Μαθηματικής Επιστήμης ήταν η ”Disquisitiones generales circa superficies curvas” (Γενική μελέτη των καμπυλών επιφανειών) του C. F. Gauss (1827) στην οποία αποδεικνυόταν το περίφημο Θεώρημα Egregium (Θαυμαστό Θεώρημα) σύμφωνα με το οποίο υπάρχουν ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων που δεν εξαρτώνται από τον περιβάλλοντα χώρο στον οποίο είναι εμβαπτισμένα. Το Θεώρημα αυτό οδήγησε αργότερα (1854) τον G. B. Riemann να θεωρήσει στην Υφηγεσία του, που παρουσιάσθηκε στο Πανεπιστήμιο του Gottingen αφηρημένα γεωμετρικά αντικείμενα τα οποία αργότερα ονομάστηκαν πολλαπλότητες τα οποία δεν ήταν αναγκαία εμβαπτισμένα σε κάποιο Ευκλείδιο χώρο. Η θεωρία των Διαφορίσιμων Πολλαπλοτήτων, που στη συνέχεια αναπτύχθηκε, αποτελεί τη σύγχρονη μορφή της Διαφορικής Γεωμετρίας και είναι ένας από τους βασικούς άξονες έρευνας, τόσο στα Μαθηματικά όσο και στη Θεωρητική Φυσική. H εργασία αυτή ξεκινά με το εδάφιο που έχει τίτλο ”Eισαγωγή” και στο οποίο παρουσιάζονται συνοπτικά γνώσεις από τοπολογία, απειροστικούς λογισμούς και άλγεβρα που απαιτούνται για την παρουσίαση του κύριου μέρους της διατριβής. Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας, ορίζονται οι έννοιες διαφορίσιμη πολλαπλότητα, διαφορίσιμη απεικόνιση, εφαπτόμενο διάνυσμα,το διαφορικό μιας απεικόνισης, εμβάπτιση, εμφύτευση, υποπολλαπλότητα, διανυσματικό πεδίο, εφαπτόμενη δέσμη και αναφέρουμε κάποια βασικά αποτελεσματα για τον διαμερισμό της μονάδας, επίσης για όλα τα παραπάνω δίνουμε διάφορα παραδείγματα. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγονται οι διαφορικές μορφές στον Rn και σε μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα και η εργασία ολοκληρώνεται με την απόδειξη του σημαντικού θεωρήματος που μετατρέπει διαφορικές k-μορφές σε διαφορικές k+1-μορφές.