Ολοκληρωτικές εξισώσεις και εφαρμογές

Abstract

Σε αυτή την διπλωματική ασχολούμαστε με τις ολοκληρωτικές εξισώσεις και κάποιες εφαρμογές τους. Αρχικά κάνουμε μια εισαγωγή στις ολοκληρωτικές εξισώσεις. Στη συνέχεια αναφέρουμε τις κατηγορίες ολοκληρωτικών και ολοκληρωτικοδιαφορικών εξισώσεων, και εξετάζουμε έννοιες όπως η γραμμικότητα και η ομογένεια. Στη συνέχεια δείχνουμε πως παράγονται ολοκληρωτικές εξισώσεις απο συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και αναλύουμε ένα παράδειγμα εφαρμογής τους. Εξετάζουμε βασικά προβλήματα ολοκληρωτικών εξισώσεων και αναφέρουμε τις λύσεις που προκύπτουν και κάποια παραδείγματα. Αναφέρουμε την θεωρία του Fredholm και την εναλλακτική του Fredholm για ολοκληρωτικές εξισώσεις. Παρουσιάζουμε κάποιες μεθόδους εύρεσης προσεγγιστικής λύσης και για μοντέλα τύπου Volterra και κάποιες εφαρμογές τους. Αναφέρουμε κάποιες ολοκληρωτικές εξισώσεις με λογαριθμικό πυρήνα με κάποιες εφαρμογές τους. Μελετάμε τα ολοκληρώματα Fresnel και κάποιες εφαρμογές τους, την εξίσωση Thomas-Fermi, την μεταφορά θερμότητας με την ιδιόμορφη ολοκληρωτική εξίσωση του Lighthill και κάποιες εφαρμογές της και τέλος μελετάμε την ακτινοβολία θερμότητας σε ένα ημιάπειρο στερεό και κάποιες εφαρμογές του.