Η θεωρία των στοχαστικών ανελίξεων και η εφαρμογή τους στην οικονομία

Abstract

Ο σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να αναλύσει τη θεωρία των στοχαστικών ανελίξεων και να εξηγήσει τον τρόπο με τον οποίο η θεωρία αυτή εφαρμόζεται στην Οικονομία. Στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε βασικές έννοιες της θεωρία πιθανοτήτων που θα χρησιμεύσουν στην συνέχεια, όπως την έννοια του δειγματοχώρου, των απλών ενδεχομένων και της πιθανότητας (απλής και κατά συνθήκη), των ανεξάρτητων ενδεχομένων και παρουσιάζουμε τις τυχαίες μεταβλητές (διακριτές και συνεχείς), ενώ τελειώνουμε το κεφάλαιο εξηγώντας τις έννοιες της μέσης τιμής και της διακύμανσης τυχαίων μεταβλητών. Στο δεύτερο κεφάλαιο, αναφερόμαστε στη χρονική αξία του χρήματος και εξηγούμε τα βασικά είδη των επιτοκίων. Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή για το αμέσως επόμενο κεφάλαιο, το οποίο αφορά τη χρηματιστηριακή αγορά και τα παράγωγά της. Εξηγούμε τις έννοιες της μετοχής, του συναλλάγματος και των διάφορων ειδών παραγώγων (forwards, futures, swaps και options). Τέλος, κάνουμε έναν διαχωρισμό ανάμεσα στα είδη των συναλλασσομένων. Το τέταρτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας είναι αφιερωμένο στα martingales. Ξεκινάμε με μια σύντομη ιστορική αναδρομή και εξηγούμε την έννοια των πεπερασμένων Μαρκοβιανών αλυσίδων. Αναπτύσσουμε, στη συνέχεια του κεφαλαίου, τη θεωρία γύρω από τα martingales, παραθέτοντας μια σειρά από χρήσιμους ορισμούς και θεωρήματα και εξηγούμε τους μετασχηματισμούς των martingale. Έπειτα, αναφερόμαστε στους χρόνους στάσης και στην ισχυρή Μαρκοβιανή ιδιότητα, στο επιλεκτικό θεώρημα στάσης και στα ασυμπτωτικά θεωρήματα martingale. Στο πέμπτο κεφάλαιο, αναλύουμε τις αυτοχρηματοδοτούμενες διαδικασίες κεφαλαίου και την τιμολόγηση των δικαιωμάτων. Αναπτύσσουμε το μοντέλο της αγοράς και αναλύουμε τις εφικτές στρατηγικές. Εξηγούμε τη διαδικασία αξιών του απλού Ευρωπαϊκού και συνεχίζουμε αναπτύσσοντας την αντίστοιχη διαδικασία και για τα Αμερικάνικα δικαιώματα. Τέλος, το έκτο κεφάλαιο έρχεται σαν συμπλήρωμα του προηγούμενου κεφαλαίου να εξηγήσει τη μέθοδο τιμολόγησης παραγώγων με χρήση της μεθόδου των ισοδύναμων martingale μέτρων.