Πολλαπλασιαστικοί τελεστές σε άλγεβρες τελεστών

Abstract

Το αντικείμενο της διατριβής είναι η μελέτη πολλαπλασιαστικών και στοιχειωδών τελεστών σε άλγεβρες τελεστών. Η διατριβή έχει τρία κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο μελετάμε πολλαπλασιαστικούς και στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε ένα Hilbert πρότυπο. Δίνουμε χαρακτηρισμούς των συμβόλων των πολλαπλασιαστικών και στοιχειωδών τελεστών σε σχέση με την εικόνα τους. Στο δεύτερο κεφάλαιο χαρακτηρίζουμε τα k-ακραία σημεία της μοναδιαίας μπάλας μίας C*-άλγεβρας με χρήση των συστολικών διαταραχών. Στο τρίτο κεφάλαιο χαρακτηρίζουμε τα συμπαγή στοιχεία ενός ημισταυρωτού γινομένου.

Στο πρώτο κεφάλαιο μελετάμε πολλαπλασιαστικούς και στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable απεικονίσεων σε ένα αριθμήσιμα παραγόμενο Hilbert προτυπο πάνω σε μία διαχωρίσιμη μοναδιαία C*-άλγεβρα. Εισάγουμε και μελετάμε την έννοια του ισχυρά διαχωρίσιμου συνόλου σε C*-άλγεβρες. Η έννοια αυτή θα χρειαστεί στους χαρακτηρισμούς των πολλαπλασιαστικών και στοιχειωδών τελεστών. Στην τρίτη ενότητα του κεφαλαίου αποδεικνύουμε ότι ένας στοιχειώδης τελεστής έχει διαχωρίσιμη εικόνα, αν και μόνον αν η εικόνα του περιέχεται στην άλγεβρα των γενικευμένα συμπαγών τελεστών. Επίσης αποδεικνύουμε ότι ένας πολλαπλασιαστικός τελεστής με ίδια σύμβολα έχει διαχωρίσιμη εικόνα αν και μόνον αν το σύμβολο είναι γενικευμένα συμπαγής τελεστής. Στην τέταρτη ενότητα μελετάμε πολλαπλασιαστικούς τελεστές όταν η άλγεβρα που δρα στο πρότυπο είναι μία prime διαχωρίσιμη C*-άλγεβρα με μονάδα. Αποδεικνύουμε ότι τότε και η άλγεβρα των adjointable απεικονίσεων είναι prime C*-άλγεβρα. Αποδεικνύουμε ότι ένα πολλαπλασιαστικός τελεστής στην άλγεβρα των adjointable απεικονίσεων απεικονίζει την μοναδιαία μπάλα σε διαχωρίσιμο σύνολο αν και μόνο αν τουλάχιστον ένα από τα δύο σύμβολα είναι γενικευμένα συμπαγής τελεστής. Επίσης αποδεικνύουμε ότι ένα πολλαπλασιαστικός τελεστής στην άλγεβρα των adjointable απεικονίσεων απεικονίζει την μοναδιαία μπάλα σε ισχυρά διαχωρίσιμο σύνολο αν και μόνο αν και τα δύο σύμβολα του πολλαπλασιαστικού τελεστή είναι γενικευμένα συμπαγής τελεστές. Στην πέμπτη ενότητα μελετάμε στοιχειώδεις τελεστές στο πλαίσιο της μελέτης των πολλαπλασιαστικών τελεστών της τέταρτης ενότητας. Αποδεικνύουμε ότι ένας στοιχειώδης τελεστής στην άλγεβρα των adjointable απεικονίσεων απεικονίζει την μοναδιαία μπάλα σε διαχωρίσιμο σύνολο αν και μόνο αν υπάρχει γραφή όπου τουλάχιστον ένα από τα δύο σύμβολα σε κάθε προσθετέο πολλαπλασιαστικό τελεστή είναι γενικευμένα συμπαγής τελεστής. Αποδεικνύουμε επίσης ότι ένας στοιχειώδης τελεστής στην άλγεβρα των adjointable απεικονίσεων απεικονίζει την μοναδιαία μπάλα σε ισχυρά διαχωρίσιμο σύνολο αν και μόνο αν υπάρχει γραφή όπου όλα τα σύμβολα είναι γενικευμένα συμπαγής τελεστές.

Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνουμε έναν χαρακτηρισμό των k-ακραίων σημείων της μοναδιαίας μπάλας μιας C*-άλγεβρας με μονάδα χρησιμοποιώντας την έννοια των συστολικών διαταραχών.

Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε τα συμπαγή στοιχεία σε ένα ημισταυρωτό γινόμενο. Αποδεικνύουμε ένα χαρακτηρισμό των συμπαγών στοιχείων σε ένα ημισταυρωτό γινόμενο. Ακόμη δείχνουμε ότι το ιδεώδες που παράγεται από τα συμπαγή στοιχεία συμπίπτει με το ριζικό του Jacobson της άλγεβρας.