Δυναμική μη-γραμμικών συστημάτων πλέγματος

Abstract

Σκοπός αυτής της εργασίας, είναι η μελέτη συστημάτων πλέγματος, που αποτελούν θεμελιώδη μοντέλα για διάφορα μη γραμμικά φαινόμενα σε διακριτά μέσα. Τα ερωτήματα που μελετά η παρούσα διατριβή, αντιμετωπίστηκαν με μεθόδους και τεχνικές από περιοχές όπως τη μη-γραμμική φυσική, τη μη-γραμμική ανάλυση, τα δυναμικά συστήματα και την περιοχή της αριθμητικής ανάλυσης, υπό την έννοια των αριθμητικών προσομοιώσεων. Στο Κεφάλαιο 1, παρουσιάζουμε τη βασική θεωρία με τις κατάλληλες τεχνικές από την περιοχή των απειροδιάστατων δυναμικών συστημάτων, που θα είναι χρήσιμες στην αντιμετώπιση των προβλημάτων που θα συζητηθούν στη συνέχεια. Το κίνητρο της μελέτης μας προέρχεται από ένα γενικό ερώτημα για την ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων δυναμικών συστημάτων κλίσης (gradient systems). Αυτό το ερώτημα εξετάζει, αν καθολικά ορισμένες και φραγμένες τροχιές, συγκλίνουν σε σημείο ισορροπίας καθώς ο χρόνος συγκλίνει στο άπειρο. Όπως θα δούμε και στο κεφάλαιο 1, υπάρχει παράδειγμα το οποίο παρουσιάζεται από τους R. Palis και W. de Melo, όπου ένα δυναμικό σύστημα κλίσης ακόμη και στον R^2 μπορεί να μη συγκλίνει σε μοναδικό σημείο ισορροπίας και η Αρχή του Αναλλοίωτου να μην είναι εφαρμόσιμη. Από την άλλη μεριά, παραδείγματα με μεγάλο ενδιαφέρον, τα οποία έχουν μελετηθεί από τους A. Haraux και M. A. Jendoubi, είναι αυτά για τα οποία η σύγκλιση επιτυγχάνεται, αλλά σε ένα συνεχές λύσεων ισορροπίας. Επιπλέον, η δομή του ω-οριακού συνόλου της ροής είναι μη-τετριμμένη. Ο στόχος μας, είναι να εξάγουμε αποτελέσματα ευστάθειας και σύγκλισης σε μη γραμμικές καταστάσεις για μη γραμμικά πλέγματα με απόσβεση. Στο Κεφάλαιο 2, ξεκινώντας με την πρώτη παράγραφο, αναφέρουμε βασικά χαρακτηριστικά της διακριτής εξίσωσης Klein--Gordon και το κίνητρο μας για την μελέτη του προβλήματος σύγκλισης. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε την καθολική ύπαρξη λύσεων του προβλήματος αρχικών συνθηκών, με συνοριακές συνθήκες Dirichlet. Στην τρίτη παράγραφο παρουσιάζουμε τις αναλυτικές υποθέσεις για την εξίσωση μας και χρησιμοποιώντας κατάλληλες ενεργειακές εκτιμήσεις σε συνδυασμό με μια διακριτή εκδοχή της ανισότητας Lojasiewicz, η οποία εφαρμόζεται για πρώτη φορά σε μη-γραμμικά πλέγματα, αποδεικνύουμε το αποτέλεσμα της σύγκλισης σε μοναδικό σημείο ισορροπίας, για κάθε αρχική συνθήκη του πλέγματος. Στη τέταρτη παράγραφο, διερευνώντας την θεωρία καθολικών διακλαδώσεων, επιβεβαιώνουμε το γεγονός ότι στη διακριτή περίπτωση, όλες οι γραμμικές καταστάσεις συνεχίζονται σε μη-γραμμικές καταστάσεις ισορροπίας. Τέλος, εκτελώντας αριθμητικές προσομοιώσεις αναδεικνύουμε την πλούσια δομή του συνόλου των σημείων ισορροπίας και τις δυνατότητες σύγκλισης. Με τις αριθμητικές προσομοιώσεις της εξέλιξης του συστήματος, λαμβάνουμε επίσης, πληροφορίες για την δυναμική ευστάθεια των κλάδων των σημείων ισορροπίας. Πραγματοποιούμε επίσης πρώτες συζητήσεις για την επίδραση της διακριτότητας και την δύναμη απόσβεσης, στην δυναμική της σύγκλισης. Συνοψίζοντας, τα αποτελέσματα υποδεικνύουν την εξαιρετικά πλούσια και περίπλοκη δυναμική σύγκλισης σε μη-τετριμμένες καταστάσεις ισορροπίας και ταυτόχρονα την πλούσια δομή του συνόλου αυτών των καταστάσεων, ακόμη και στην απλούστερη φαινομενικά περίπτωση, του διευσταθούς δυναμικού. Στο Κεφάλαιο 3, αρχικά συζητάμε στη πρώτη παράγραφο και με σύντομο τρόπο, πεδία εφαρμογών της διακριτής μη γραμμικής εξίσωσης Schr\"odinger σε διάφορα φυσικά συστήματα. Στη συνέχεια, στη δεύτερη παράγραφο, εφοδιάζουμε την προαναφερθείσα εξίσωση, με μηχανισμούς που περιγράφουν γραμμικό και μη-γραμμικό κέρδος, ή απώλεια ενέργειας. Για τη μελέτη μας, θεωρούμε τόσο την αφεστιάζουσα s=1, όσο και την εστιάζουσα περίπτωση s=-1 της εξίσωσης. Θεωρώντας το πρόβλημα αρχικών τιμών με περιοδικές συνοριακές συνθήκες ή με συνοριακές συνθήκες Dirichlet, διερευνούμε και αποδεικνύουμε αναλυτικές συνθήκες για την έκρηξη των λύσεων σε πεπερασμένο χρόνο. Για την αντιμετώπιση του παραπάνω προβλήματος, λαμβάνουμε υπόψη τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της δυναμικής της συνεχούς περίπτωσης. Συγκεκριμένα, επεκτείνοντας τα επιχειρήματα σχετικής εργασίας, στο διακριτό χώρο, και χρησιμοποιώντας κατάλληλο συναρτησιακό \ell^2-ενέργειας, αποδεικνύουμε αναλυτικές εκτιμήσεις, για το χρόνο έκρηξης με την μορφή άνω και κάτω φραγμάτων. Οι τιμές των πραγματικών συντελεστών των παραπάνω επιδράσεων, γ (γραμμική) και δ (μη-γραμμική), ορίζουν περιοχές με διαφορετική δυναμική. Όπως θα δούμε, για γ,δ>0 έχουμε έκρηξη λύσεων σε πεπερασμένο χρόνο, ενώ για γ,δ<0, φθορά λύσεων. Επιπλέον διακρίνουμε μια κρίσιμη τιμή γ*, η οποία διαχωρίζει τις δύο προαναφερθείσες δυναμικές στην περίπτωση όπου, γ<0 και δ>0. Έπειτα, στη τρίτη παράγραφο, παρουσιάζουμε αποτελέσματα αριθμητικών προσομοιώσεων των φαινομένων της έκρηξης και της φθοράς των λύσεων, για μια ευρεία κλάση αρχικών συνθηκών. Στη μελέτη αυτή, διαπιστώνουμε την εγκυρότητα των αναλυτικών εκτιμήσεων. Επιπλέον αναδεικνύεται η χρησιμότητα τους, στο να αναγνωρίζουμε και να ταξινομούμε διαφορετικούς τύπους έκρηξης: εκτεταμένο, εντοπισμένο ή και δυναμική έκρηξης που συνδυάζει τους παραπάνω τύπους. Τα βασικά αποτελέσματα εντοπίζονται στον ρόλο που έχει η διακριτότητα, το πλάτος των αρχικών συνθηκών, ο αφεστιάζοντας/εστιάζοντας χαρακτήρας του πλέγματος, και οι μηχανισμοί ενέργειας στην επιλογή των διαφορετικών μηχανισμών που οδηγούν στην έκρηξη. Οι αριθμητικοί χρόνοι έκρηξης προσεγγίζουν, και σε κάποιες περιπτώσεις είναι σε εξαιρετική συμφωνία, με το άνω ή κάτω φράγμα, αντίστοιχα. Ο συνδυασμός των αναλυτικών και αριθμητικών αποτελεσμάτων, δείχνει ότι οι ταυτίσεις αυτές αντιστοιχούν στην εκτεταμένη ή εντοπισμένη δυναμική έκρηξης, αντίστοιχα. Από την άλλη, όταν αυτοί οι χρόνοι βρίσκονται ανάμεσα στα αναλυτικά φράγματα, σχετίζονται με μη τετριμμένη δυναμική μετάβασης στην έκρηξη των λύσεων. Σε αυτή την περίπτωση, η δυναμική είναι συνδυασμός των βασικών τύπων, εξαιτίας της συνεισφοράς της αφεστιάζουσας/εστιάζουσας επίδρασης και του κέρδους/απώλειας ενέργειας. Όσον αφορά την κατανόηση των μηχανισμών έκρηξης και την παραγωγή των κάτω φραγμάτων, τα αποτελέσματα εμβαθύνουν στην περίπτωση του υπό μελέτη μοντέλου στα γενικότερα αποτελέσματα σχετικής εργασίας. Τα αποτελέσματα μας φιλοδοξούν να αναδείξουν ουσιαστικές διαφορές στη μαθηματική αντιμετώπιση των παραπάνω ερωτημάτων μεταξύ των διακριτών και συνεχών μοντέλων, αλλά και στην παρατηρήσιμη δυναμική τους: o ρόλος της διακριτότητας αποδεικνύεται για μια ακόμη φορά θεμελιώδους σημασίας.