Oριακά θεωρήματα και εφαρμογές

Abstract

Ο σκοπός αυτής της εργασίας είναι η θεμελίωση της θεωρίας των πιθανοτήτων και η παρουσίαση των πιο βασικών της αποτελεσμάτων. Ο κύριος προσανατολισμός είναι η παρουσίαση των οριακών θεωρημάτων και τον σπουδαίο ρόλο που αυτά έχουν στη Στατιστική καθώς και στον προγραμματισμό. Η προσομοίωση στοχαστικών και πιθανοθεωρητικών μοντέλων χρησιμοποιώντας παράλληλα και την εφαρμογή οριακών θεωρημάτων έχουν φέρει σημαντικά αποτελέσματα στον επιχειρηματικό κόσμο. Η εργασία ξεκινάει από τον ορισμό της πιθανότητας και του χώρου πιθανότητας μέσω εργαλείων της θεωρίας μέτρου. Μετέπειτα ορίζεται κατάλληλα η έννοια της τυχαίας μεταβλητής από οποιονδήποτε χώρο πιθανότητας στους πραγματικούς αριθμούς, τον ορισμό της κατανομής και στον τύπο εύρεσης της αναμενόμενης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής. Στη συνέχεια διατυπώνονται και κατηγοριοποιούνται τα βασικά είδη συγκλίσεων σε χώρους πιθανότητας, καθώς και η παρουσίαση και απόδειξη όλων των βασικών ανισοτήτων . Μεγάλο κομμάτι της εργασίας αφορά στην μελέτη των βασικών μορφών των κεντρικών Οριακών θεωρημάτων με βάση την βαρύτητα τους κατά φθίνουσα σειρά. Επίσης, διατυπώνεται και αποδεικνύεται το κλασικό Κ.Ο.Θ. με χρήση χαρακτηριστικής συνάρτησης. Ιδιαίτερη βάση δίνεται σε εφαρμογές του Κ.Ο.Θ. για μη ισόνομες και ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. Η εργασία ολοκληρώνεταιμε αριθμητικά αποτέλεσματα τα οποία δημιουργήθηκαν με χρήση της γλώσσας R, με στόχο να επαληθευτεί η ισχύς του κλασικού κεντρικού οριακού θεωρήματος αλλά και για την προσομοίωση του απλού συμμετρικού τυχαίου περιπάτου