Κόμποι και επιφάνειες

Abstract

Η διπλωματική εργασία πραγματεύεται τη μελέτη των κόμπων και κρίκων, καθώς και τις επιφάνειες με σκοπό τη ταξινόμηση τους. Σε ένα αρχικό πλαίσιο εξηγείται η έννοια των κόμπων και κρίκων, πώς αυτοί αποδίδονται στα διαγράμματα τους και σημαντικές πληροφορίες που αντλούνται από τα διαγράμματα. Στη συνέχεια δίνονται οι αναλλοίωτες ισοτοπίας των κόμπων, οι οποίες είναι τα βασικά στοιχεία ταξινόμησης τους. Έπειτα γίνεται αναφορά στα πολυώνυμα των κόμπων και κρίκων, ώστε πάλι να καταλήξουμε στα πολυώνυμα εκείνα που είναι αναλλοίωτες ισοτοπίας. Στη συνέχεια παραθέτονται βασικές τοπολογικές έννοιες, ώστε να δοθεί πλέον και ο αυστηρός ορισμός του κόμπου, του κρίκου και της ambient ισοτοπίας. Τέλος, και αφού έχει ήδη καταστεί σαφές πως η παραπάνω μελέτη καθιστά δυσκολή την έρευνα γύρω από τους κόμπους, στρεφόμαστε στις επιφάνειες και μάλιστα στην τριγωνοποίηση αυτών. Μέσω της τριγωνοποίησης αντλούμε σταδιακά χρησιμότατες πληροφορίες για τα χαρακτηριστικά των επιφανειών, όπως είναι τα crosscaps, handles, (λαβές), cuffs και αναλλοίωτες επιφανειών, δηλαδή την προσανατολισιμότητα, συνοριακές καμπύλες και γένος με γνώμονα και πάλι την ταξινόμηση των επιφανειών. Έτσι καταλήγουμε να βρούμε πως από ένα διάγραμμα κόμπου κατασκευάζουμε την επιφάνεια αυτού.