Η απεικόνιση Poincare και τα Χαμιλτονιανά συστήματα

Abstract

Στην εργασία αυτή θα αναφερθούμε στα γραμμικά και στα μη-γραμμικά συστήματα, καθώς και στο διάγραμμα φάσεων. Όπου οι υπόχωροι του γραμμικού συστήματος αντιστοιχούν σε φασικές τροχιές ασυμπτωτικές προς το σημείο ισορροπίας του μη-γραμμικού συστήματος . Θα κάνουμε χρήση του επιπέδου φάσης για να μελετήσουμε τα μη-γραμμικά συστήματα. Θα μελετήσουμε εξισώσεις δευτέρου βαθμού και πιο συγκεκριμένα την εξίσωση του Νεύτωνα για την κίνηση ενός υλικού σημείου σε ένα μονοδιάστατο μέσο. Θα αναφερθούμε στις κρίσιμες καμπύλες στάθμης καθώς και στις ομοκλινείς και ετεροκλινείς τροχιές. Καθώς και στις ακολουθίες Poincare για αυτόνομα συστήματα και στα τμήματα Poincare για μη-αυτόνομα συστήματα. Τα Χαμιλτονιανά συστήματα αποτελούν έναν μεγάλο κλάδο των δυναμικών συστημάτων με συγκεκριμένη μαθηματική θεωρία και σημαντικές εφαρμογές κυρίως σε θέματα Θεωρητικής Φυσικής. Θα αναφερθούμε μόνο σε συστήματα δύο βαθμών ελευθερίας. Στην ενότητα αυτή θα μιλήσουμε για διαταραγμένα συστήματα καθώς και για διαταραγμένα Χαμιλτονιανά συστήματα, το σύστημα ονομάζεται διαταραγμένο σύστημα ή σύστημα κοντά στην ολοκληρωσιμότητα. Καθώς και στις τομές και τροχιές Poincare.