Αναπαραστάσεις μαθηματικών εννοιών σε φυσικό και ηλεκτρονικό περιβάλλον ως εργαλεία για τη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών: η περίπτωση των κλασμάτων

Abstract

Η περιοχή των ρητών αριθμών είναι ένα σημαντικό κομμάτι της μαθηματικής παιδείας των μαθητών μας, καθώς η γνώση τους συμβάλλει στην κατανόηση άλλων μαθηματικών εννοιών. Για το λόγο αυτό πολλοί ερευνητές κινούνται στο πεδίο των κλασμάτων ερευνώντας τις δυσκολίες των μαθητών πάνω στους ρητούς. Ωστόσο, ιδιαίτερη ανησυχία προκαλεί το γεγονός ότι αυτές οι δυσκολίες παρουσιάζουν μια διαχρονικότητα και μια δυσκαμψία στην αλλαγή τους, παρά το γεγονός ότι τα τελευταία χρόνια τα αναλυτικά προγράμματα και τα σχολικά βιβλία στη Ελλάδα έχουν αλλάξει. H διεθνής βιβλιογραφία αναφέρει τέσσερις εξωγενείς παράγοντες που επηρεάζουν την κατανόηση των κλασμάτων: 1. τον τρόπο διδασκαλίας, 2. τη χρήση ή μη αναπαραστάσεων, 3. τις αναπαραστάσεις των σχολικών βιβλίων και 4. τις αντιλήψεις των εκπαιδευτικών και υποψήφιων εκπαιδευτικών στα κλάσματα. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι διάφοροι ερευνητές έχουν αποδώσει ο καθένας και σε διαφορετικό παράγοντα τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στα κλάσματα. Στην παρούσα έρευνα, πιστεύοντας ότι οι δυσκολίες αυτές των μαθητών οφείλονται σε έναν συνδυασμό παραγόντων που συμπεριλαμβάνει και τους τέσσερις αυτούς παράγοντες μαζί, επιχειρεί μέσα από μια μακρόχρονη έρευνα να αναδείξει αυτούς τους παράγοντες στον ελλαδικό χώρο με τελικό στόχο τη διατύπωση και πρόταξη λύσεων για τη μείωση αυτών των δυσκολιών των μαθητών στα κλάσματα. Πιο συγκεκριμένα, ερευνούνται οι δυσκολίες των μαθητών στα κλάσματα στην Πρωτοβάθμια και στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, στη συνέχεια ερευνούνται οι δυσκολίες των υποψήφιων δασκάλων για τα κλάσματα, αναλύονται τα περιεχόμενα όλων των σχολικών βιβλίων του δημοτικού για την ποσότητα, το είδος και τη συχνότητα των αναπαραστάσεων στα κλάσματα και τέλος από τα πορίσματα αυτών των ερευνών σχεδιάζεται και υλοποιείται πρωτότυπο καινοτόμο παρεμβατικό πρόγραμμα για τη μείωση αυτών των δυσκολιών. Η καινοτομία που εισάγεται είναι ότι για το σχεδιασμό των παρεμβατικών προγραμμάτων χρησιμοποιήθηκαν ως εργαλεία για τις διδακτικές παρεμβάσεις όχι μόνο οι πολλαπλές αναπαραστάσεις, άλλα και δέκα δομικά στοιχεία των Μαθηματικών (Ρεαλιστικά Μαθηματικά, Ιστορία των Μαθηματικών, Ανοιχτό Πρόβλημα, Ρήξη Διδακτικού Συμβολαίου, Αντιπαράδειγμα, Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί, Νοεροί και Κατ' εκτίμηση Υπολογισμοί, Διεπιστημονικότητα, Κατασκευή Προβλήματος και Τεχνολογία) για να ενισχύσουν την αποτελεσματικότητα των αναπαραστάσεων, που φαίνεται ότι τα τελευταία χρόνια, παρά το γεγονός ότι χρησιμοποιούνται ευρέως και η θετική τους επιρροή έχει διερευνηθεί, δεν μπορούν αν επιφέρουν βέλτιστα αποτελέσματα, καθώς οι δυσκολίες των μαθητών στα κλάσματα παραμένουν διεθνώς. Όλα τα παραπάνω διερευνούνται στα τρία ερευνητικά μέρη της εργασίας. Τα αποτελέσματα του Α΄ ερευνητικού μέρους δείχνουν έντονες δυσκολίες των μαθητών της Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης της Ελλάδας, παρόμοιες με αυτές που παρουσιάζει η διεθνής βιβλιογραφία. Στο Β΄ ερευνητικό μέρος αναδεικνύονται οι σημαντικές δυσκολίες που έχουν οι υποψήφιοι δάσκαλοι πάνω στους ρητούς αριθμούς, που σε κάποιες έννοιες είναι παρόμοιες με αυτές που αντιμετωπίζουν οι μαθητές της Πρωτοβάθμιας και της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, όπως στην ισοδιαμέριση της κλασματικής μονάδας, ενώ στο ίδιο ερευνητικό μέρος αναδύονται οι πενιχρές αναπαραστάσεις των σχολικών βιβλίων των Μαθηματικών της Ελλάδας για την ισοδιαμέριση της κλασματικής μονάδας, τα καταχρηστικά κλάσματα και την τοποθέτηση κλασμάτων στο γεωμετρικό μοντέλο της αριθμητικής γραμμής. Τέλος, το Γ΄ ερευνητικό μέρος αποτελεί το καινοτόμο παρεμβατικό πρόγραμμα, που υλοποιήθηκε βάσει των πολλαπλών αναπαραστάσεων με την επικουρία των δέκα δομικών στοιχείων των Μαθηματικών. Η ανάλυση των ερευνητικών δεδομένων, τόσο με τη στατιστική μέθοδο ομοιότητας όσο και με το συνεπαγωγικό διάγραμμα, έδειξε ότι οι πολλαπλές αναπαραστάσεις με την επικουρία των δέκα δομικών στοιχείων των Μαθηματικών βοήθησαν αρκετά τους μαθητές να μειώσουν τις δυσκολίες τους όσον αφορά τη σειροθέτηση των κλασμάτων ως αναπαράσταση στο γεωμετρικό μοντέλο της αριθμητικής γραμμής, την έννοια της διαίρεσης της κλασματικής μονάδας σε ίσα μέρη και την έννοια των καταχρηστικών κλασμάτων και τη δημιουργία μιας θετικής στάσης για τα Μαθηματικά. Αυτή η αλλαγή θετικής στάσης στα μαθηματικά επηρεάστηκε - σύμφωνα με τις δηλώσεις των μαθητών στις συνεντεύξεις - από την καλύτερη κατανόηση των κλασμάτων.