Recent advances in weighted divergence measures

Abstract

Στη στατιστική όπως και σε άλλες επιστήμες ένας από τους βασικούς στόχους είναι η διερεύνηση και η σύγκριση της πιθανοθεωρητικής συμπεριφοράς τυχαίων διαδικασιών. Ένα πολύ σημαντικό εργαλείο στη <<φαρέτρα>> του ερευνητή, για το σκοπό αυτό, είναι η έννοια των Μέτρων Απόκλισης. Αυτός ο τύπος των μέτρων ποσοτικοποιεί τις ανομοιότητες μεταξύ δύο τυχαίων διαδικασιών βασιζόμενος μόνο στη πιθανοθεωρητική συμπεριφορά τους.

Πολλές φορές στη στατιστική δεν μας ενδιαφέρει να επικεντρωθούμε μόνο στις ποσοτικές ανομοιότητες αλλά και στις ποιοτικές. Για παράδειγμα, στην χρηματοοικονομική ανάλυση ρίσκου είναι σύνηθες να μεριμνούμε για παχιές ουρές στη κατανομή των αποδόσεων ενός χρηματοοικονομικού περιουσιακού στοιχείου και στη βιοστατιστική να χρησιμοποιούμε <<εύρωστες>> στατιστικές μεθόδους για να περικόψουμε τις ακραίες τιμές. Εμπνευσμένοι από αυτές τις ανάγκες, στη παρούσα διπλωματική εργασία, θα παρουσιάσουμε και θα μελετήσουμε την έννοια των Σταθμισμένων Μέτρων Απόκλισης. Αυτά τα μέτρα, ποσοτικοποιούν τις ανομοιότητες μεταξύ δύο τυχαίων διαδικασιών δίνοντας μεγαλύτερη σημασία σε συγκεκριμένα υποδιαστήματα (ή γεγονότα) του στηρίγματός τους και έτσι μεριμνούν και για τη πιθανοθεωρητική συμπεριφορά αλλά και για τα ποιοτικά χαρακτηριστικά τους.

In statistics and other fields one of the main goals is the investigation and the comparison of the probabilistic behaviour of random processes. A very important tool in the `quiver' of a researcher, for that purpose, is the concept of Divergence Measures. This type of measures quantify the dissimilarities between two random processes based only on their probabilistic behaviour.

Many times in statistics, we do not only want to emphasize in the quantitative dissimilarities but also in the qualitative ones. For example, in financial risk analysis it is common to take under consideration the existence of fat tails in the distribution of returns of an asset (especially the left tail) and in biostatistics to use robust statistical methods to trim extreme values. Motivated by these needs, through this thesis, we will present and study the concept of Weighted Divergence Measures. These measures, quantify the dissimilarities between two random processes with greater significance in specific parts (or events) of their probability distribution, so they take under consideration both their probabilistic behaviour and their qualitative characteristics.