Μαθηματική μοντελοποίηση φαινομένων διάχυσης

Abstract

Φαινόμενα διάχυσης παρουσιάζονται συχνά στην καθημερινότητά μας. Για παράδειγμα, η θερμότητα ρέει από τις θερμότερες προς τις ψυχρότερες περιοχές, τα έντομα κινούνται από τις περιοχές με υψηλότερη συγκέντρωση προς εκείνες με χαμηλότερη συγκέντρωση. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, θα περιγράψουμε τη διαδικασία της διάχυσης και θα επιλύσουμε διάφορα προβλήματα διάχυσης, για σταθερό αλλά και μη σταθερό συντελεστή, με τη βοήθεια αναλυτικών αλλά και αριθμητικών μεθόδων. Επιπλέον, θα ταξινομήσουμε τη διάχυση σε κατηγορίες, ανάλογα με τους σχετικούς ρυθμούς διάχυσης και χαλάρωσης του πολυμερούς και θα παρουσιάσουμε ένα μαθηματικό μοντέλο για την κάθε μία. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο, αναφέρουμε τις εξισώσεις διάχυσης στα ισότροπα καθώς και στα ανισότροπα μέσα και στη συνέχεια προσπαθούμε να αντιστοιχήσουμε τις παραπάνω εξισώσεις με εκείνες για τη μεταφορά θερμότητας. Συνεχίζοντας, στο δεύτερο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με τις περιπτώσεις διάχυσης εκείνες στις οποίες έχουμε ένα σταθερό συντελεστή, και θα χρησιμοποιήσουμε αναλυτικές μεθόδους, τη μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών και το μετασχηματισμό 𝑳������������𝒂������������𝒑������������𝒍������������𝒂������������𝒄������������𝒆������������ με σκοπό την επίλυση των προβλημάτων αυτών. Στο τρίτο κεφάλαιο, συγκρίνοντας τους ρυθμούς διάχυσης και χαλάρωσης του πολυμερούς, θα καταλήξουμε σε τρεις κατηγορίες διάχυσης. Επιπλέον, θα παρουσιάσουμε ένα μαθηματικό μοντέλο για κάθε περίπτωση και θα αναφερθούμε σε προβλήματα διάχυσης στα οποία όμως ο συντελεστής δεν είναι σταθερός. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο, θα χρησιμοποιήσουμε αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων διάχυσης. Επιπρόσθετα, θα αναφερθούμε σε προβλήματα των οποίων οι συνοριακές συνθήκες περιέχουν την κλίση της συγκέντρωσης καθώς και σε προβλήματα στα οποία το σύνορο αλλάζει κατεύθυνση. Τέλος, θα παρουσιάσουμε ορισμένα αριθμητικά αποτελέσματα.