Lévy processes and applications

Abstract

Ο στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι να εισάγει τις έννοιες των διαδικασιών Levy και των μοντέλων διάχυσης άλματος. Αρχικά, επικεντρωνόμαστε στη θεωρία των διαδικασιών Levy. Στη συνέχεια, θα παρουσιαστεί και θα γίνει ανάλυση του μοντέλου διάχυσης άλματος Levy, που είναι η απλούστερη διαδικασία Levy και δίνει σημαντική και πλήρη αντίληψη για την δομή των διαδικασιών Levy όσον αφορά τα μονοπάτια και την κατανομή τους. Στη συνέχεια, θα διατυπώσουμε κάποια σημαντικά αποτελέσματα, όπως άπειρη διαιρεσιμότητα, η αναπαράσταση Levy-Khintchine και η αποσύνθεση Levy-Ito. Επίσης, θα παρουσιάσουμε το μέτρο Levy και τις ιδιότητες των μονοπατιών, καθώς επίσης και κάποια στοιχεία από τη θεωρία των martingale για την καλύτερη κατανόηση των χαρακτηριστικών των διαδικασιών Levy. Έπειτα, θα δούμε κάποια παραδείγματα και εφαρμογές των διαδικασιών Levy σε διάφορους κλάδους της επιστήμης, όπως χρηματοοικονομικά μαθηματικά και αναλογιστική επιστήμη. Συγκεκριμένα, θα δούμε πόσο σημαντικές είναι οι διαδικασίες Levy στην Χρηματοοικονομική μοντελοποίηση, τιμολόγηση των option, κατασκευή των χαρτοφυλακίων με βέλτιστη αντιστάθμιση κινδύνου και διαχείριση κινδύνου π.χ. υπολογισμός των μέτρων κινδύνων για το χαρτοφυλάκιο με παρουσία αλμάτων σε τιμές περιουσιακών στοιχείων. Τέλος, θα διεξάγουμε την προσομοίωση Monte Carlo στην R για τα μοντέλα διάχυσης-άλματος για τις συσχετισμένες εταιρίες και θα δείξουμε κάποια αριθμητικά αποτελέσματα για την αποτίμηση των Option.

The aim of the present thesis is to introduce the concepts of Lévy processes and jump-diffusion models. At first, we focus on the theory of Lévy processes. Then, there will be presented and analyzed a Lévy jump diffusion process, which is the simplest Lévy process and offers significant insight into the distributional and path structure of a Lévy process. Afterwards, we will state some important results, such as infinite divisibility, Lévy-Khintchine formula and the Lévy-Itô decomposition. Therefore, the Lévy measure and path properties, as well as the elements from martingale theory are presented for better understanding of the features of Lévy processes. Later, we will present some examples as well as applications of Lévy processes in different fields of science, such as financial mathematics and actuarial science. In particular, we will show how important the Lévy processes are in financial modeling, option pricing, construction of optimal hedging portfolios and risk management e.g. computation of risk measures for portfolios in presence of jumps in asset prices. Finally, we will implement Monte Carlo simulation in R for jump-diffusion models with correlational companies and we will also show some numerical results from option pricing.