Συμμετρίες Lie με εφαρμογές στα χρηματοοικονομικά μαθηματικά

Abstract

Για τη μελέτη μίας Μ.Δ.Ε. καλούμαστε να απαντήσουμε σε δύο θεμελιώδη ερωτήματα: Αν υπάρχει, τουλάχιστον μία, λύση και αν είναι δυνατό να προσδιορίσουμε αυτή τη λύση (ή αυτές τις λύσεις) με σαφήνεια και να τις καταγράψουμε. Δυστυχώς δεν υπάρχει κάποια αλγοριθμική διαδικασία για την επίτευξη αυτών των στόχων. Ακόμα και αν υπάρχει η δυνατότητα να δείξουμε ότι ένα δοθέν διαφορικό πρόβλημα έχει λύσεις, συχνά δεν μπορούμε να τις δείξουμε αναλυτικά. Ο ακρογωνιαίος λίθος της μελέτης της θεωρίας των ΔΕ καθίσταται, λοιπόν, η παραγωγή λύσεων. Παρατηρούμε όμως ότι ενώ η αριθμητική ανάλυση αλματωδώς μας δίνει εκπληκτικά αποτελέσματα, ακόμη το ζήτημα της εύρεσης αναλυτικής λύσης παραμένει ο κύριος στόχος της μελέτης των Μ.Δ.Ε..

Στόχος αυτής της εργασίας είναι να αναλύσουμε σε βάθος μια από τις πιο γόνιμες τεχνικές για την εύρεση λύσεων μια ΔΕ. Μια τέτοια μέθοδος, που πρώτα αναπτύχθηκε από τον σουηδό μαθηματικό Sophus Lie (1842-1899) στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα, ενοποιεί και επεκτείνει επί τούτου τεχνικές έτσι ώστε να παράξει ακριβείς λύσεις για Μ.Δ.Ε. αξιοποιώντας το γεγονός ότι πολλά φαινόμενα στην φύση έχουν εσωτερικές συμμετρίες. Ο Lie ανέπτυξε μία συστηματική μέθοδο εύρεσης αναλυτικής λύσης για μία ποικιλία Μ.Δ.Ε. μέσω συνεχών ομάδων μετασχηματισμών. Οι παραπάνω ομάδες ονομάζονται συνήθως Lie. Οι ομάδες αυτές είναι συγχρόνως μια ιδιαίτερη και εντυπωσιακή συγχώνευση μίας αλγεβρικής ομάδας, τοπολογικών κατασκευών και στοιχείων της ανάλυσης. Η κεντρική ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε τις εσωτερικές συμμετρίες μιας Μ.Δ.Ε. έτσι ώστε να μειώσουμε τον αριθμό των εξαρτημένων μεταβλητών. Με αυτόν τον τρόπο η λύση μιας Μ.Δ.Ε. μπορεί να βρεθεί λύνοντας μια διαφορετική Δ.Ε. με λιγότερες ανεξάρτητες μεταβλητές.

Τα τελευταία χρόνια, ιδιαίτερα μετά την παγκόσμια οικονομική κρίση του 1987, ο τομέας των χρηματοοικονομικών μαθηματικών έχει τεράστια ανάπτυξη που οδήγησε στο να γίνει ένας από τους πιο μελετημένους τομείς στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Ιδιαίτερη προσοχή δόθηκε σε προβλήματα που σχετίζονται με τη διαδικασία δίκαιης τιμολόγησης για μια τεράστια πληθώρα δομημένων χρηματοοικονομικών μέσων, όπως στην περίπτωση των χρηματοοικονομικών παραγώγων. Τα χρηματοοικονομικά παράγωγα είναι συγκεκριμένοι τύποι συμβάσεων η αξία των οποίων εξαρτάται από ένα υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο. Η χρονική συμπεριφορά της τιμής ενός τέτοιου συμβολαίου διαμορφώνεται συνήθως από μερικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες τελικά προκύπτουν από στοχαστικούς όρους. Σε ένα τέτοιο σενάριο είναι σαφώς ιδιαίτερης σημασίας η ύπαρξη, πιθανά, μοναδικής εύλογης τιμής. Επιπλέον, όταν αποδεικνύεται ότι υπάρχει μια τέτοια δίκαιη τιμή, είναι πολύ σημαντικό να έχουμε τη δυνατότητα να καταγράψουμε τη λύση αυτή ρητά ως αναλυτική συνάρτηση των (τελικά στοχαστικών) παραμέτρων του. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο πολλοί μαθηματικοί έχουν εφαρμόσει τη θεωρία του Lie για να αποκτήσουν αποτελεσματικούς τρόπους στην τιμολόγηση μίας ευρείας κατηγορίας χρηματοοικονομικών μέσων. Θα δούμε περαιτέρω πώς αυτές οι τεχνικές μπορεί να αξιοποιηθούν για να αντλήσουμε όχι μόνο αναλυτικές λύσεις αλλά και θεμελιώδεις λύσεις και συναρτήσεις πυκνότητας μετάβασης που σχετίζονται με συγκεκριμένα χρηματοοικονομικά μοντέλα.

Προσανατολιζόμαστε σε δύο βασικούς άξονες. Αφ' ενός την παρουσίαση βασικών εννοιών της Άλγεβρας Lie, των ομάδων Lie και των συμμετριών που επάγονται από αυτές σε ομάδες διαφορικών εξισώσεων και αφ' ετέρου την εφαρμογή τους στα προαναφερθέντα χρηματοοικονομικά προβλήματα.