Αριθμητική επίλυση προβλημάτων αρχικών και συνοριακών τιμών

Abstract

Η παρούσα πτυχιακή σκοπό έχει να μελετηθούν μέθοδοι αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών και συνοριακών τιμών. Στις διαφορικές εξισώσεις δεν είναι πάντα εύκολο να βρεθεί η αναλυτική τους λύση, σε κάποιες περιπτώσεις αυτό είναι αδύνατον. Σκοπός των αριθμητικών μεθόδων είναι να προσεγγίσουν την λύση μιας διαφορικής εξίσωσης με όσο το δυνατόν μικρότερο σφάλμα. Οι λύσεις που θα ληφθούν δεν θα είναι συνεχείς, αντί αυτών, οι προσεγγίσεις των λύσεων θα παραχθούν από διακεκριμένα σημεία στο διάστημα ενδιαφέροντος.

Στο πρώτο κεφάλαιο θα μελετηθούν μέθοδοι αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 1ου βαθμού. Συγκεκριμένα θα μελετήσουμε τις μεθόδους: αναλυτή Euler, Taylor ανώτερης τάξης, μη αναλυτή Euler, τραπεζίου(Crack-Nikolson) και πρόβλεψης-διόρθωσης. Επίσης θα μελετήσουμε δύο μεθόδους, για την αριθμητική επίλυσης συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις μεγαλύτερης τάξης, τη μέθοδο πρόβλεψης-διόρθωσης (αναλυτή Euler – τραπέζιο) και τη μέθοδο τραπεζίου.

Στο δεύτερο κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών. Συγκεκριμένα θα μελετηθούν οι μέθοδοι των πεπερασμένων διαφορών, της σκόπευσης τόσο σε απλή μορφή όσο και με χρήση εξισώσεων μεταβολών και της επαλληλίας τόσο για γραμμικά όσο και για μη γραμμικά προβλήματα.

Στο τρίτο κεφάλαιο θα παρουσιαστούν μέθοδοι αριθμητικής επίλυσης μερικών διαφορικών εξισώσεις και πιο συγκεκριμένα αριθμητικοί μέθοδοι επίλυσης του ελλειπτικού και του παραβολικού προβλήματος. Συγκεκριμένα για το ελλειπτικό πρόβλημα θα μελετήσουμε τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών ενώ για το παραβολικό πρόβλημα θα μελετήσουμε την άμεση μέθοδο, την έμμεση μέθοδο και την μέθοδο Crack-Nikolson.

Τέλος, στο παράρτημα υπάρχουν όλοι οι πίνακες των αποτελεσμάτων όλων των παραδειγμάτων που λύθηκαν προσεγγιστικά. Επίσης για κάθε μέθοδο που αναφέρθηκε στην παρούσα πτυχιακή υπάρχει ο αντίστοιχος κώδικας που γράφθηκε και χρησιμοποιήθηκε για την λήψη των προσεγγιστικών αποτελεσμάτων την εκάστοτε προσεγγιστικής λύσης των παραδειγμάτων. Η γλώσσα που χρησιμοποιήθηκε είναι η γλώσσα Fortran 90/95.