Η αντίστροφη ισοπεριμετρική ανισότητα

Abstract

Από όλα τα ενδιαφέροντα πράγματα που πραγματεύεται η κυρτή γεωμετρία, στόχος της παρούσας πτυχιακής εργασίας είναι η διατύπωση και η απόδειξη της αντίστροφης ισοπεριμετρικής ανισότητας, η οποία μας λέει ότι από όλα τα κυρτά και κεντρικά συμμετρικά σώματα τα οποία είναι στην θέση του John και έχουν το ίδιο εμβαδό επιφανείας με τον μοναδιαίο κύβο, ο κύβος έχει τον ελάχιστο όγκο. Για να καταφέρουμε όμως να φτάσουμε σε αυτό το σημείο θα χρειαστεί να διατυπώσουμε και να μελετήσουμε αρκετές ανισότητες, αυτές όμως που θα παίξουν βασικό ρόλο στην μελέτη μας είναι η ανισότητα των Brascamp‐Lieb καθώς και η αντί‐ στροφη της η ανισότητα του Barthe. Ακόμα θα χρειαστεί να διατυπώσουμε και να αποδείξουμε αρκετά θεωρήματα, όπως το θεώρημα του F. John το οποίο αναφέρετε στην αναπαράσταση του ταυτοτικού πίνακα καθώς και το θεώρημα του K. Ball το οποίο μας πληροφορεί ότι από όλα τα κυρτά και κεντρικά συμμετρικά σώματα που βρίσκονται στην θέση του John ο κύβος έχει τον μέγιστο όγκο. Τέλος θα χρειστεί να χρησιμοποιήσουμε αρκετά εργαλεία από την Συναρτησιακή Ανάλυση καθώς και από την Γραμμική Άλγεβρα τα οποία θα μας βοηθήσουν να φτάσουμε στην διατύπωση της αντίστροφης ισοπεριμετρικής ανισότητας καθώς και στην απόδειξη της.