Εισαγωγή στην ομοπαραλληλική γεωμετρία

Abstract

Κατά την διάρκεια της πτυχιακής αποδεικνύουμε μια ολόκληρη γκάμα αποτελεσμάτων σε μια γεωμετρία διαφορετική από την Ευκλείδεια. Κατά τη διαδικασία για να το κάνουμε αυτό, συναντάμε δύο συγκεκριμένα χαρακτηριστικά της προσέγγισής μας στη γεωμετρία που θα ασχοληθούμε. Το πρώτο χαρακτηριστικό είναι η χρήση μετασχηματισμών στη γεωμετρία για την απλοποίηση των προβλημάτων και για να αναδείξουμε τον ουσιαστικό τους χαρακτήρα. Μπορεί να έχουμε γνωρίσει μερικούς από αυτούς τους μετασχηματισμούς στο παρελθόν στο μάθημα της γραμμικής Άλγεβρας. Το δεύτερο χαρακτηριστικό προκύπτει από το γεγονός ότι οι μετασχηματισμοί αποτελούν ομάδες. Γενικά, περιορίζουμε την προσοχή μας στη γεωμετρία στο επίπεδο, R^2, αλλά ακόμη και σε αυτό το γνωστό περιβάλλον μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία ομάδες μετασχηματισμών στη διάθεσή μας. Αυτό οδηγεί στη συναρπαστική ιδέα ότι υπάρχουν πολλές διαφορετικές γεωμετρίες! Κάθε γεωμετρία αποτελείται από ένα χώρο, μερικές ιδιότητες των σχημάτων σε αυτόν το χώρο, και μια ομάδα μετασχηματισμών του χώρου που διατηρούν αυτές τις ιδιότητες. Για παράδειγμα, η γεωμετρία του ευκλείδειου επιπέδου χρησιμοποιεί το χώρο R^2 και ασχολείται με τις ιδιότητες των σχημάτων που εξαρτώνται από την έννοια της απόστασης. Η ομάδα που σχετίζεται με την Ευκλείδεια γεωμετρία είναι η ομάδα των ισομετριών του επιπέδου. Αυτό συμβαίνει επειδή οι ισομετρίες του επιπέδου διατηρούν τις αποστάσεις. Αυτή η ιδέα, ότι η γεωμετρία μπορεί να θεωρηθεί ως ένας χώρος και μια ομάδα που δρα σε αυτό, ονομάζεται Kleinian άποψη της γεωμετρίας, την οποία πρότεινε για πρώτη φορά o Γερμανός μαθηματικός Felix Klein μετά τον 19ο αιώνα. Έχει το προνόμιο που μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε πολλές γεωμετρίες, ενώ βλέπουμε πώς συσχετίζονται. Για παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε το R^2 ως το χώρο μας και να χρησιμοποιήσουμε την ομάδα όλων των μετασχηματισμών της μορφής t (x) = Ax + a, όπου τα aΕR^2 και A είναι ένας 2 x 2 αντιστρέψιμος πίνακας. Αυτοί είναι οι λεγόμενοι ομοπαραλληλικοί μετασχηματισμοί του R^2. Αλλά ποιές ιδιότητες των σχημάτων στο R^2 διατηρούνται από αυτούς τους μετασχηματισμούς, και ποιά είναι η αντίστοιχη γεωμετρία? Αυτή η γεωμετρία ονομάζεται ομοπαραλληλική ή αλλιώς αφινική γεωμετρία, και είναι το αντικείμενο αυτής της πτυχιακής. Όπως θα δούμε, έχει ορισμένα κοινά χαρακτηριστικά με την Ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά και μερικά πολύ διαφορετικά. Στην Ενότητα 1 εξετάζουμε κάποιες βασικές εισαγωγικές έννοιες οι οποίες θα μας βοηθήσουν στην συνέχεια στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων. Πιο συγκεκριμένα, δίνουμε κάποιες χρήσιμες ιδιότητες των πινάκων και των οριζουσών, για να απλοποιήσουμε τη δουλειά μας. Στην Ενότητα 2 εξετάζουμε την Ευκλείδεια γεωμετρία από την πλευρά της Kleinian άποψης και εξηγούμε γιατί υπάρχουν άλλες γεωμετρίες εκτός από την Ευκλείδεια γεωμετρία. Στις Ενότητες 3 και 4 παρουσιάζουμε την ομοπαραλληλική γεωμετρία και εξετάζουμε τις ιδιότητές της. Συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι οι ομοπαραλληλικοί μετασχηματισμοί απεικονίζουν ευθείες γραμμές σε ευθείες γραμμές, παράλληλες γραμμές σε παράλληλες γραμμές και διατηρούν τις αναλογίες μήκους κατά μήκος μιας δεδομένης γραμμής. Ανακαλύπτουμε επίσης ότι στην ομοπαραλληλική γεωμετρία όλα τα τρίγωνα είναι ίσα, με την έννοια ότι οποιοδήποτε τρίγωνο μπορεί να απεικονισθεί σε οποιοδήποτε άλλο τρίγωνο με έναν ομοπαραλληλικό μετασχηματισμό. Αυτό το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως το Θεμελιώδες Θεώρημα της Ομοπαραλληλικής Γεωμετρίας. Στην Ενότητα 5 διατυπώνουμε δύο σημαντικά θεωρήματα λόγων των Ceva και Μενέλαου, που περιλαμβάνουν αναλογίες μήκους κατά μήκος των πλευρών ενός τριγώνου. Τέλος, στην Ενότητα 6 διερευνούμε την επίδραση των ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών στις κωνικές τομές, και ανακαλύπτουμε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις μεθόδους της ομοπαραλληλικής γεωμετρίας για να αποκτήσουμε κάποιες πολύ απλές αποδείξεις ορισμένων τύπων θεωρημάτων για κωνικές τομές.