Ενα πρόβλημα με κινούμενο σύνορο που μοντελοποιεί την εξέλιξη δυο ανταγωνιστικών πληθυσμών

Abstract

Στην εργασία αυτή, ασχολούμαστε με το μοντέλο ανταγωνισμού δύο ειδών και με την θεωριτική ανάλυση του. Συγκεκριμένα εκτός άλλων παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα της εργασίας paper Travelling wave solutions of a free boundary problem for a two -species competitive model. Αρχικά μελετάμε την εξίσωση Fisher Kolmogorov και την εξίσωση του Stefan διότι παρατηρούμε στην παραγωγή του μοντέλου οτι υπάρχουν κοινά στοιχεία με τις δύο αυτές εξισώσεις. Μέσα απο την εξίσωση Fisher μελετάμε και βλέπουμε την εξίσωση διάχυσης και εφαρμόζοντς στοιχεία απο την θεωρία των δυναμικών συστημάτων διερευνούμε κάποια ποιοτικά χαρακτηριστικά. Στο πρόβλημα Stefan βλέπουμε στοιχεία για το μοντέλο μιας φάσης και το μοντέλο δύο φάσεων και εισάγουμε την έννοια του κινούμενου ορίου. Το κινούμενο σύνορο προσδιορίζεται ως συνάρτηση του χρόνου και του χώρου. Έπειτα στο κύριο κομμάτι της εργασίας παρουσιάζουμε ένα σημαντικό αποτέλεσμα που αφορά την ύπαρξη λύσεων οδεύοντος κύματος κάτω απο συγκεκριμένες συνθήκες του προβλήματος. Το μοντέλο μιας ή δύο φάσεων το λύνουμε αριθμητικά. Για το σκοπό αυτό δεδομένου οτι έχουμε πρόβλημα με κινούμενο σύνορο εφαρμόζουμε κατάλληλο μετασχηματισμό για να φέρουμε το πρόβλημα σε σταθερό χωρίο.