Martingales σε διατεταγμένους χώρους banach και εφαρμογές

Abstract

Η παρούσα διατριβή παρουσιάζει μια προσέγγιση στη θεωρία Martingales η οποία βασιζεται σύμφωνα με τον D. Williams στην όσο το δυνατόν μικρότερη επαφή με τις κλασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Γενικεύσεις της έννοιας του Martingale σε χώρους Banach.Ένας γραμμικός χώρος F ο οποίος είναι εφοδιασμένος με μία μερική διάταξη,εάν ως προς αυτή τη μερική διάταξη για οποιαδήποτε δύο στοιχεία υπάρχει το supremum και το infimum τότε ο F ονομάζεται διανυσματικός σύνδεσμος Banach.Μία ακολουθία θετικών συσταλτικών προβολών επι ενός διανυσματικού χώρου Banach F λέγεται φιλτράρισμα.Μία ακολουθία (Xn) του F είναι martingale αν ΕnXm=Xn για κάθε n<m.Ορίζουμε Μ=Μ(F,(En)) τον χώρο Banach όλων των ομοιόμορφα φραγμένων ως προς τη νόρμα martingales.Αποδεικνύουμε οτι αν ο χώρος F δεν περιέχει ένα αντίγραφο του Co ή αν κάθε En είναι πεπερασμένης βαθμίδας,τότε ο M είναι και το ίδιο ένας διανυσματικός χώρος Banach.Ερευνάται η σύγκλιση των martingales και αποδεικνύεται μια γενίκευση του θεωρήματος σύγκλισης Doob.Αποδεικνύουμε οτι υπο ορισμένες συνθήκες υπάρχουν ισομετρικές εβαπτίσεις και τελικά θα αποδειχθεί πως κάθε ακολουθία διαφόρων Martingales είναι μονότονη και βασική ακολουθία στοιχείων του F.Επίσης παρουσιάζουμε εφαρμογές των διηθήσεων και των σχετικών Martingales σε διάφορους χώρους Banach,ώστε να ξεκαθαριστεί ο τρόπος με τον οποίο εμφυτεύεται το σύνολο M των φραγμένων Martingales στον χώρο F.