Εισαγωγή στη θεωρία τελεστών

Abstract

Στην εργασία με τίτλο "Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών" έγινε μελέτη στο πεδίο της Θεωρίας Τελεστών, όσον αφορά κάποιες βασικές ιδέες πίσω από αυτό. Ο σκοπός ήταν να αναδείξουμε σημαντικούς ορισμούς και θεωρήματα πάνω στους τελεστές. Το πρώτο κεφάλαιο ασχολείται με βασικές έννοιες της Συναρτησιακής Ανάλυσης, όπως είναι οι γραμμικοί τελεστές, οι τοπολογικοί χώροι και οι χώροι με νόρμα. Το δεύτερο κεφάλαιο μελετά έννοιες της Φασματικής Θεωρίας και των Aλγβερών Banach, όπως τελεστές αλγεβρών σε χώρους Hilbert, το φάσμα, η φασματική ακτίνα, ιδεώδη και πηλίκα. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται λόγος για τελεστές σε χώρους Hilbert, γεωμετρία σε αυτούς, C*- άλγεβρες και τοπολογίες του B(H). Επίσης, μελετήθηκαν οι συμπαγείς τελεστές, η τετραγωνική ρίζα τελεστή και οι trace class τελεστές. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο έγινε απόδειξη του Θεωρήματος Gleason το οποίο αφορά τη γραμμική επέκταση ενός φραγμένου πλήρως προσθετικού μέτρου σε ένα δικτυωτό προβολών ενός χώρου Hilbert. Η απόδειξη γίνεται σε τρία στάδια. Στο πρώτο στάδιο, το πρόβλημα απλοποιείται σε τρισδιάστατο πραγματικό χώρο Hilbert και στο δεύτερο, χρησιμοποιείται και αναδεικνύεται η έννοια της κανονικής frame συνάρτησης. Στο τελικό στάδιο της απόδειξης σημειώνεται η σημασία της υπόθεσης του φραγμένου μέτρου, όταν ο χώρος Hilbert είναι απειροδιάστατος. Για την επίτευξη του στόχου της απόδειξης χρησιμοποιήθηκε το βαθύ αποτέλεσμα του Θεωρήματος των Dorofeev και Sherstnev.