Εισαγωγή στην μεταθετική άλγεβρα

Abstract

Το αντικείμενο της διπλωματικής εργασίας είναι η εισαγωγή στην Μεταθετική Άλγεβρα. Αποτελείται απο πέντε κεφάλαια, εκ των οποίων το πέμπτο είναι συμπληρωματικοί Ορισμοί, Θεωρήματα, Προτάσεις και Πορίσματα που θα χρησιμοποιηθούν ως εργαλεία στην ανάλυση των τεσσάρων κεφαλαίων. Αυτα τα κεφάλαια είναι: Πρώτο Κεφάλαιο- Μεταθετικοί Δακτύλιοι, Ιδεώδη. Σε αυτό το κεφάλαιο αναλύουμε είδη ιδεωδών, τις ιδιότητές τους καθώς και πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε εμείς οι ίδιοι Ιδεώδη. Ακόμα υπενθυμίζουμε τί είναι Ομομορφισμός Δακτυλίων, τί είναι Σώμα, τί Ακέραια Περιοχή και πώς γίνεται η Επέκταση ενός Σώματος. Δεύτερο Κεφάλαιο- Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές, Σε αυτό το κεφάλαιο δίνουμε Ορισμούς και Παραδείγματα που αφορούν την Περιοχή Κυρίων Ιδεωδών, την Περιοχή Μοναδικής Παραγοντοποίησης και την Ευκλείδεια Περιοχη. Τρίτο Κεφάλαιο- Επίπεδες Καμπύλες - Μια πρώτη γεύση Αλγεβρικής Γεωμετρίας. Αυτό ειναι και το σπουδαιότερο κεφάλαιο αυτής της εργασίας, καθώς αναλύουμε το τί είναι Ρητή Καμπύλη, ποιές Καμπύλες επιδέχονται Ρητές Παραμετρικοποιήσεις και με την βοήθεια Παραδειγμάτων εξηγούμε πότε δύο καμπύλες είναι ισόμορφες. Επιπλέον εξηγούμε την ειδική περίπτωση του Θεωρήματος του Bezout. Τέταρτο Κεφάλαιο- Ομοπαραλληλικές Πολλαπλότητες και το Θεώρημα Nullestellensazt. Σε αυτό το κεφάλαιο εξηγούμε τί είναι Αλγεβρικό Σύνολο, τί είναι το Ριζικό Ιδεώδες, αναλύουμε δύο Προτάσεις που μας δίνουν ιδιότητες- συνθήκες για τα Αλγεβρικά Σύνολα και τα Ιδεώδη που ανήκουν σε Πολυωνυμικούς Δακτύλιους και τέλος αναφέρουμε το Θεώρημα Ριζών, γνωστό ως Θεώρημα Nullstellensatz.