Δυναμικά συστήματα: περιοδικότητα και χάος

Abstract

Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η εισαγωγή στα διακριτά δυναμικά συστήματα και η μελέτη των όρων και των προϋποθέσεων υπό τις οποίες ένα δυναμικό σύστημα μπορεί να χαρακτηριστεί ως χαοτικό καθώς και η μελέτη των συστημάτων αυτών. Το πρώτο μέρος της εργασίας περιλαμβάνει μία αναλυτική επισκόπηση των διακριτών δυναμικών συστημάτων έτσι ώστε ο αναγνώστης να έχει μία πλήρη και ολοκληρωμένη εικόνα του πως μπορούμε να μελετήσουμε τα συστήματα αυτά. Στο δεύτερο μέρος δίνονται οι πιο ευρέως αποδεκτοί ορισμοί του Χάους των Robert L. Devany, Stephen R. Wiggins και τέλος των Tien-Yien Li και James A. Yorke ενώ στη συνέχεια αναλύεται διεξοδικά η εργασία των τελευταίων με τίτλο «Period Three Implies Chaos», που δημοσιεύθηκε στο περιοδικό Mathematical Association of America το 1975.Το τρίτο και τελευταίο μέρος της εργασίας περιλαμβάνει μία αναλυτική μελέτη μιας από τις πλέον πιο διαδεδομένες εξισώσεις στο χώρο των δυναμικών συστημάτων, της «Διακριτής Λογιστικής Απεικόνισης» όπου αποδεικνύεται ότι ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ϑεωρήματος των Tien-Yien Li και James A. Yorke εμφανίζοντας έτσι για συγκεκριμένες τιμές χαοτική συμπεριφορά. Κύριο συμπέρασμα της παρούσας εργασίας είναι ότι ένα διακριτό δυναμικό σύστημα μπορεί να χαρακτηριστεί ως χαοτικό -κατά τον ορισμό του χάους των Li και York- αν ικανοποιείται η ύπαρξη ενός περιοδικού σημείου περιόδου τρία.

The Main purpose of this thesis is an introduction to the discrete dynamical systems and the study of the terms and conditions under which a dynamical system can be characterized as chaotic and also the study of these systems. The first part of the thesis consists of a comprehensive overview of the discrete dynamical systems, that provides a complete understanding of the methods used to analyze them. In the second part the most widely known definitions of chaos by Robert L. Devany, Stephen R. Wiggins, Tien-Yien Li and James A. Yorke are listed. Thereinafter their paper ((Period Three Implies Chaos)), which was published at The American Mathematical Monthly, Vol. 82, No. 10. (Dec., 1975), pp. 985-992 is analyzed. The third and last part of the thesis, is a detailed study of ‘‘ Discrete Logistic map’’ which is one of the most wide spread equations in the subject of Dynamical Systems. We discuss the proof that follows the necessary conditions of the Tien-Yien Li and James A. This means that for specific values it exhibits a chaotic behaviour. The main conclusion of this thesis is that a discrete dynamical system can be categorized as chaotic, according to the Li & York definition if there exists a periodic point with a type three periods.